黑龙江省哈尔滨市宾县第三中学高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若直线过点与双曲线只有一个公共点,则这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
参考答案:
C
2. 设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( )
A.(0,0) B.(1,﹣1) C.(﹣1,1) D.(1,﹣1)或(﹣1,1)
参考答案:
D
【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】由曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,导函数等于﹣1求得点(x0,f(x0))的横坐标,进一步求得f(x0)的值,可得结论.
【解答】解:∵f(x)=x3+ax2,
∴f′(x)=3x2+2ax,
∵函数在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,
∴3x02+2ax0=﹣1,
∵x0+x03+ax02=0,解得x0=±1.
当x0=1时,f(x0)=﹣1,
当x0=﹣1时,f(x0)=1.
故选:D.
【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率,是中档题.
3. 极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A.直线、直线 B.圆、圆
C.直线、圆 D.圆、直线
参考答案:
D
由,得,将代入上式得,故极坐标方程表示的图形为圆;
由消去参数t整理得,故参数方程表示的图形为直线。选D。
4. 已知函数f(x)=,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】定积分.
【分析】先根据条件可化为(x+1)2dx+dx,再根据定积分以及定积分的几何意义,求出即可.
【解答】解: (x+1)2dx+dx,
∵(x+1)2dx=(x+1)3|=,
dx表示以原点为圆心以1为为半径的圆的面积的四分之一,
故dx=π,
∴(x+1)2dx+dx==,
故选:B
5. 设集合A={},集合B为函数的定义域,则AB=( )
(A)(1,2) (B)[1,2] (C)[ 1,2) (D)(1,2 ]
参考答案:
D
略
6. 已知等比数列的公比,则等于( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
略
7. 命题“”的否定是( ).
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
8. 在正方体中,直线与平面所成的角为,则值为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
9. 设为等比数列,若,,,,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
根据等比数列的性质设为等比数列,若,,,,则 ,反过来设数列为常数列1,1,1,1……,任意两项的积相等,但项数和不等,所以不必要,那么为等比数列,若,,,,则是的充分不必要条件,选A.
10. 在中,“”是“”的( ).
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等比数列中,公比,且,
则_____________
参考答案:
略
12. 已知是圆内一点,则过点的最短弦所在直线方程是 .
参考答案:
略
13. 已知数列{an}的通项公式是,数列的通项公式是,令集合,,.将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{cn}.则数列{cn}的前28项的和 .
参考答案:
820
14. 抛物线y=4x2的准线方程为 .
参考答案:
-
考点: 抛物线的简单性质.
专题: 计算题.
分析: 先把抛物线方程整理成标准方程,进而求得p,再根据抛物线性质得出准线方程.
解答: 解:整理抛物线方程得x2=y,∴p=
∵抛物线方程开口向上,
∴准线方程是y=﹣
故答案为:.
点评: 本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质.属基础题.
15. 已知,则a,b,c从小到大的顺序是 ▲ .
参考答案:
16. 双曲线的渐近线方程为 ▲ .
参考答案:
略
17. 若锐角三角形ABC的面积为,AB=2,AC=3,则cosA= .
参考答案:
【考点】正弦定理.
【专题】计算题;方程思想;数学模型法;解三角形.
【分析】由三角形的面积求得sinA的值,再由平方关系得答案.
【解答】解:由,
得,即sinA=,
由△ABC为锐角三角形,
∴cosA=.
故答案为:.
【点评】本题考查解三角形,考查了正弦定理的应用,是基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,四面体ABCD中,O、E分别BD、BC的中点,AB=AD=2,.
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求异面直线AD与BC所成角的余弦值的大小;
(3)求点D到平面ABC的距离.
参考答案:
解:(1)连接OC,∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD,
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD,
在△AOC中,由题设知 AO=,,AC= ,
∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90°,即AO⊥OC,
∵AO⊥BD,BD∩OC=O,
∴AO⊥平面BCD;
(2)以O为原点,如图建立空间直角坐标系,
则A(0,0,),B(,0,0),C(0,,0),D(﹣,0,0),,
∴异面直线AD与BC所成角的余弦值大小为
(3)解:由(2)知: ,.
设平面ABC的一个法向量为=(x,y,z),则
令y=1,得=(,1,)
又,
∴点D到平面ABC的距离
19. 某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下:
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
(2)求出y关于x的线性回归方程=x+,并在坐标系中画出回归直线;
(3)试预测加工10个零件需要多少时间?
参考公式:回归直线,其中
参考答案:
解:(1)散点图如图
(2)由表格计算得=52.5, ,=54,所以 ,所以 ,回归直线如上图;
(3)将x=10代入回归直线方程得 ,所以预测加工10个零件需要8.05小时
略
20. 用数学归纳法证明:
参考答案:
略
略
21. 已知复数w满足w﹣4=(3﹣2w)i(i为虚数单位).
(1)求w;
(2)设z∈C,在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积.
参考答案:
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】(1)利用复数的运算法则即可得出;
(2)利用复数圆的方程及其面积计算公式即可得出.
【解答】解:(1)∵w(1+2i)=4+3i,∴;
(2)在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形为一个圆环,
其中大圆为:以(2,﹣1)为圆心,2为半径的圆;小圆是:以(2,﹣1)为圆心,1为半径的圆.
∴在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积=22π﹣12×π=3π.
22. 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边长,若(a+b+c)(sinA+sinB﹣sinC)=3asinB,求C的大小.
参考答案:
【考点】正弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】已知等式利用正弦定理化简,整理后利用余弦定理求出cosC的值,即可确定出C的度数.
【解答】解:已知等式利用正弦定理化简得:(a+b+c)(a+b﹣c)=3ab,
整理得:a2+2ab+b2﹣c2=3ab,即=,
∴cosC=,
则C=60°.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.