湖南省株洲市砖桥中学高一数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列四个图形中,不是以为自变量的函数的图象是 ( )
参考答案:
C
2. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,则
A=
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
3. 空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为( )
A.60° B.120° C.30° D.60°或120°
参考答案:
D
【考点】LK:平行公理.
【分析】根据平行公理知道当空间两个角α与β的两边对应平行,得到这两个角相等或互补,根据所给的角的度数,即可得到β的度数.
【解答】解:如图,
∵空间两个角α,β的两边对应平行,
∴这两个角相等或互补,
∵α=60°,
∴β=60°或120°.
故选:D.
【点评】本题考查平行公理,本题解题的关键是不要漏掉两个角互补这种情况,本题是一个基础题.
4. 方程的解集为M,方程的解集为N,且那么( )
A.21 B.8 C.6 D.7
参考答案:
A
略
5. 已知集合 则 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
6. 在△ABC中,若sin(A﹣B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形 B.不含60°的等腰三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
参考答案:
D
【考点】GQ:两角和与差的正弦函数.
【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式、和差公式即可得出.
【解答】解:∵sin(A﹣B)=1+2cos(B+C)sin(A+C),
∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB,
∴sinAcosB+cosAsinB=1,
∴sin(A+B)=1,
∴sinC=1.
∵C∈(0,π),
∴.
∴△ABC的形状一定是直角三角形.
故选:D.
7. 已知数列,,它们的前项和分别为,,记(),则数列的前10项和为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
略
8. 函数y=ax2+bx+3在(﹣∞,﹣1]上是增函数,在[﹣1,+∞)上是减函数,则( )
A.b>0且a<0 B.b=2a<0
C.b=2a>0 D.a,b的符号不确定
参考答案:
B
【考点】二次函数的性质.
【分析】利用对称轴的公式求出对称轴,根据二次函数的单调区间得到,得到选项.
【解答】解:∵函数y=ax2+bx+3的对称轴为
∵函数y=ax2+bx+3在(﹣∞,﹣1]上是增函数,在[﹣1,+∞)上是减函数
∴
∴b=2a<0
故选B
9. 三个数a=0.62,b=ln0.6,c=20.6之间的大小关系是( )
A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a
参考答案:
C
【考点】对数值大小的比较.
【分析】将a=0.62,c=20.6分别抽象为指数函数y=0.6x,y=2x之间所对应的函数值,利用它们的图象和性质比较,将b=ln0.6,抽象为对数函数y=lnx,利用其图象可知小于零.最后三者得到结论.
【解答】解:由对数函数的性质可知:b=ln0.6<0,
由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1
∴b<a<c
故选C
10. 设均为不等于的正实数, 则下列等式中恒成立的是( )
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则角C等于_____.
参考答案:
【分析】
根据三角形正弦定理得到结果.
【详解】根据三角形中的正弦定理得到
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角形的正弦定理的应用,属于基础题.
12. 已知函数,数列满足,且是递增数列,则实数的取值范围是 ▲ .
参考答案:
略
13. (5分)函数的图象为C.如下结论:
①函数的最小正周期是π;
②图象C关于直线对称;
③函数f(x)在区间(﹣,)上是增函数;
④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.其中正确的是 . (写出所有正确结论的序号)
参考答案:
①②
考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题: 计算题;三角函数的图像与性质.
分析: 利用正弦函数f(x)=3sin(2x﹣)的性质,对①②③④四个选项逐一判断即可.
解答: ∵f(x)=3sin(2x﹣),
∴其最小正周期T==π,故①正确;
由2x﹣=kπ+(k∈Z)得:x=+(k∈Z),
∴f(x)=3sin(2x﹣)的对称轴方程为:x=+(k∈Z),
当k=0时,x=,
∴图象C关于直线x=对称,正确,即②正确;
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+得:kπ﹣≤x≤kπ+(k∈Z),
∴f(x)=3sin(2x﹣)的增区间为[kπ﹣,kπ+](k∈Z),
当k=0时,[﹣,]为其一个增区间,而﹣>﹣,但>,
∴函数f(x)在区间(﹣,)上不是增函数,即③错误;
又将y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到y=3sin2(x﹣)=3sin(2x﹣)≠3sin(2x﹣)=f(x),故④错误.
综上所述,①②正确.
故答案为:①②.
点评: 本题考查正弦函数的周期性、对称性、单调性及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,熟练掌握正弦函数的性质是解决问题之关键,属于中档题.
14. 数列{an}中,已知,50为第________项.
参考答案:
4
【分析】
方程变为,设,解关于的二次方程可求得。
【详解】,则,即
设,则,有或
取得,,所以是第4项。
【点睛】发现,原方程可通过换元,变为关于的一个二次方程。对于指数结构,,等,都可以通过换元变为二次形式研究。
15. 要得到的图象, 则需要将的图象向左平移的距离最短的单位为 .
参考答案:
略
16. 若A为一个内角,,,,则
参考答案:
或
略
17. 若扇形的周长为16cm,圆心角为2rad,则该扇形的面积为 cm2.
参考答案:
16
【考点】扇形面积公式.
【分析】设扇形的半径为r,弧长为l,根据扇形周长和弧长公式列式,解之得r=4,l=8,再由扇形面积公式可得扇形的面积S.
【解答】解 设扇形的半径为r,弧长为l,则有,得r=4,l=8,
故扇形的面积为S==16.
故答案为:16.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知在映射的作用下的像是,求在作用下的像和在作用下的原像.(12分)
参考答案:
的像是, 的原像是或
略
19. 已知函数的一系列对应值如下表:
-2
4
-2
4
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心;
(3)若当时,方程恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
参考答案:
(1)(2)(3)
试题分析:(1)由最值求出的值,由周期求出,由特殊点的坐标求出,可得函数的解析式;
(2)令(),求得的范围,可得函数的单调递增区间,令(),求得的值,可得对称中心的坐标
(3)将方程进行转化,利用正弦函数的定义域和值域求得实数的取值范围
解析:(1)设的最小正周期为,
得,
由,得,
又解得
令(),
即(),解得,
∴.
(2)当(),
即(),函数单调递增.
令(),得(),
所以函数的对称中心为,.
(3)方程可化为,
∵,∴,
由正弦函数图象可知,实数的取值范围是.
20. 已知圆C:x2+y2=4,直线l:ax+y+2a=0,当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2时,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】求出圆心到直线的距离,利用点到直线的距离公式,即可得出结论.
【解答】解:圆C:x2+y2=4,圆心为(0,0),半径为2,
∵|AB|=2,
∴圆心到直线的距离为=,
∴=
解得a=1或a=﹣1.…
故所求直线方程为x+y+2=0或x﹣y+2=0.…
21. (10分)某校高二年级在一次数学选拔赛中,由于甲、乙两人的竞赛成绩相同,从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据如下:
甲
127
138
130
137
135
131
乙
133
129
138
134
128
136
求两人比赛成绩的平均数以及方差,并且分析成绩的稳定性,从中选出一位参加数学竞赛.
参考答案:
设甲乙两人成绩的平均数分别为,,
则=130+=133,(3分)
=130+=133,(3分)
==,(2分)
==.(2分) ks5u
因此,甲与乙的平均数相同,由于乙的方差较小,所以乙的成绩比甲的成绩稳定,应该选乙参加竞赛比较合适.
22. 函数y=f(x)满足f(3+x)=f(1﹣x),且x1,x2∈(2,+∞)时,>0成立,若f(cos2θ+2m2+2)<f(sinθ+m2﹣3m﹣2)对θ∈R恒成立.
(1)判断y=f(x)的单调性和对称性;
(2)求m的取值范围.
参考答案:
【考点】3E:函数单调性的判断与证明;3M:奇偶函数图象的对称性;3Q:函数的周期性.
【分析】(1)由条件可得y=f (x)的对称轴为x=2,当2<x1<x2时,f (x1)<f (x2); 当2<x2<x1时,f (x2)<f (x1),由此可得结论.
(2)由f(cos2θ+2m2+2)<f(sinθ+m2﹣3m﹣2),可得|cos2θ+2m2|<|sinθ+m2﹣3m﹣4|,即m2﹣3m﹣4+sinθ>cos2θ+2m2(i),或m2﹣3m﹣4+sinθ<﹣cos2θ﹣2m2(ii)恒成立.由(i)得求得m的范围,由(ii)求得m的范围,再把这2个m的范围取并集,即得所求.
【解答】解:(1)由f (3+x)=f (1﹣x),可得f (2+x)=f(2﹣x),
∴y=f (x)的对称轴为x=2.…
当2<x1<x2时,f (x1)<f (x2); 当2<x2<x1时,f (x2)<f (x1).
∴y=f (x)在(2,+∝)上为增函数,在(﹣∞,2)上为减函数.…
(2)由f(cos2θ+2m2+2)<f(sinθ+m2﹣3m﹣2),可得|cos2θ+2m2|<|sinθ+m2﹣3m﹣4|,
即m2﹣3m﹣4+sinθ>cos2θ+2m2(i),或m2﹣3m﹣4+sinθ<﹣cos2θ﹣2m2(ii)恒成立.…
由(i)得m2+3m+4<﹣cos2θ+sinθ=(sinθ+)2﹣恒成立,∴m2+3m+4<﹣,
故 4m2+12m+21<0恒成立,m无解.…
由(ii) 得3m2﹣3m﹣4<﹣cos2θ﹣sinθ=(sinθ﹣)2﹣恒成立,可得3m2﹣3m﹣4<﹣,
即 12m2﹣12m﹣11<0,解得<m<.…