2022-2023学年江西省宜春市靖安职业中学高一数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(3)的值是(　　) A．6        B．7    C．8            D．9 参考答案： C 2. （5分）如果奇函数f（x）在区间上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上是（） A． 增函数且最小值为﹣5 B． 增函数且最大值为﹣5 C． 减函数且最大值是﹣5 D． 减函数且最小值是﹣5 参考答案： A 考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变，结合题意从而得出结论． 解答： 由于奇函数的图象关于原点对称，故它在对称区间上的单调性不变． 如果奇函数f（x）在区间上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间上必是增函数且最小值为﹣5， 故选A． 点评： 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，奇函数的图象和性质，属于中档题． 3. 等差数列{ a n }中，已知3 a 5 = 7 a 10，且a 1 < 0，则前n项和S n ( n∈N )中最小的是（   ） （A）S 7或S 8      （B）S 12     （C）S 13       （D）S 15 参考答案： C 4. 某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是(   ) A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 参考答案： D 设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x，则 ，解得x＝24． 故选D 5. 若幂函数经过点，则此函数在定义域上是 (      ) A. 增函数          B. 减函数           C. 偶函数         D.奇函数 参考答案： B 幂函数是经过点，设幂函数为，将点代入得到 此时函数是减函数。故答案为：B 6. 某班的40位同学已编号1，2，3，…，40，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的8名同学的作业本，这里运用的抽样方法是（　　） 　 A． 简单随机抽样 B． 抽签法 　　C． 系统抽样 D． 分层抽样 参考答案： C 7. 直线l经过原点和点(－， 1)，则它的斜率为 A. －     B.   C.       D. 参考答案： B 8. 已知是两个单位向量，且=0．若点在内，且， 则, 则等于（ ） A．                 B．             C．   D．  参考答案： C 9. 集合{用区间表示出来               （     ） A、  B、（   C、（0，+且    D、（0,2） 参考答案： A 略 10. 在△ABC中，acosA=bcosB，则△ABC的形状为（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 参考答案： C 【考点】GZ：三角形的形状判断． 【分析】利用正弦定理将acosA=bcosB中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可． 【解答】解：在△ABC中，∵acosA=bcosB， ∴由正弦定理==2R得：a=2RsinA，b=2RsinB， ∴sinAcosA=sinBcosB， ∴sin2A=sin2B， ∴sin2A=sin2B， ∴2A=2B或2A=π﹣2B， ∴A=B或A+B=， ∴△ABC为等腰或直角三角形， 故选C． 【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是__________． 参考答案： a≤﹣3 考点：函数单调性的性质． 专题：计算题；数形结合． 分析：求出函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=1﹣a，令1﹣a≥4，即可解出a的取值范围． 解答：解：函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴x=﹣=1﹣a， 又函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，可得1﹣a≥4，得a≤﹣3． 故答案为a≤﹣3 点评：考查二次函数图象的性质，二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数，本题主要是训练二次函数的性质． 12. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线与直线所成的角为    ▲   ． 参考答案： 13. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知sinB﹣sinC=sinA，2b=3c，则cosA=　　． 参考答案： 【考点】HR：余弦定理． 【分析】由已知可得b=，又利用正弦定理可得b﹣c=a，进而可得：a=2c，利用余弦定理即可解得cosA的值． 【解答】解：在△ABC中，∵2b=3c， ∴可得：b=， ∵sinB﹣sinC=sinA， ∴由正弦定理可得：b﹣c=a，可得：﹣c=a，整理可得：a=2c， ∴cosA===． 故答案为：． 14. 圆心角为，半径为3的扇形的弧长等于         参考答案： 15. 过直线上一点作圆的两条切线，．若，关于直线对称，则点到圆心的距离为                    ． 参考答案： 16. 已知三棱锥的棱长均相等，是的中点,为的中心，则异面直线与所成的角为___________. 参考答案： 17. 函数的定义域是_______________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 等差数列的前项和记为.已知. （1）求通项；（2）若，求； 参考答案： （1）解：在等差数列中，    解得：          （2）解：又    把代入得： 19. 若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（）=f（x）﹣f（y）． （Ⅰ）求f（1）的值； （Ⅱ）解不等式：f（x﹣1）＜0． 参考答案： 【考点】抽象函数及其应用． 【分析】（Ⅰ）在等式中令x=y≠0，则f（1）=0，问题得以解决， （Ⅱ）由f（1）=0和f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，得到关于x的不等式组解得即可． 【解答】解：（Ⅰ）在等式中令x=y＞0，则f（1）=0， （Ⅱ）∵f（1）=0， ∴f（x﹣1）＜0?f（x﹣1）＜f（1） 又f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数， ∴ ∴1＜x＜2， 则原不等式的解集为（1，2）． 20. 数列{an}，各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足. （1）求证数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Tn，并求使对所有的都成立的最大正整数m的值. 参考答案： （1）证明见解析，；（2）3 【分析】 （1）由题得，即得数列为首项和公差都是的等差数列，再求出，再利用项和公式求数列的通项公式.(2)先求出，再利用裂项相消求出，最后解二次不等式得解. 【详解】（1）证明：，当时，， 整理得，， 又， 数列为首项和公差都是1的等差数列. ， 又， 时，，又适合此式 数列的通项公式为； （2）解： 依题意有，解得， 故所求最大正整数的值为3. 【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查项和公式求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21. （本小题8分）（1）化简： （2）已知，求  参考答案： 解：（1）原式==    （4分） 22. 如图，四棱锥中，⊥底面，底面为梯形，，，且，点是棱上的动点. (Ⅰ）当∥平面时，确定点在棱上的位置； (Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角的余弦值. 参考答案： （Ⅰ）在梯形中，由，，得， ∴．又，故为等腰直角三角形. ∴. 连接，交于点，则   ∥平面,又平面,∴. 在中，， 即时，∥平面.  (Ⅱ）方法一：在等腰直角中，取中点，连结，则．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴平面． 在平面内，过作直线于，连结，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角．            在中，设，则， ，， ， 由，可知：∽，∴， 代入解得：． 在中，，∴， ． ∴二面角的余弦值为． 方法二：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系． 设，则，，，，． 设为平面的一个法向量，则，，∴，解得，∴．           设为平面的一个法向量，则，， 又，，∴，解得 ∴． ∴二面角的余弦值为．