2022年安徽省合肥市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
A.A.2
B.1
C.1/2e
D.
2.下列反常积分收敛的是( )。
A.∫1+∞xdx
B.∫1+∞x2dx
C.
D.
3.
4.交换二次积分次序等于( )．
A.A.
B.
C.
D.
5.
6.设D={(x，y){|x2+y2≤a2，a＞0,y≥0)，在极坐标下二重积分(x2+y2)dxdy可以表示为( )
A.∫0πdθ∫0ar2dr
B.∫0πdθ∫0ar3dr
C.
D.
7.点作曲线运动时，“匀变速运动”指的是( )。
A.aτ为常量
B.an为常量
C.为常矢量
D.为常矢量
8.
9.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。
A.y*=(Ax+B)ex
B.y*=x(Ax+B)ex
C.y*=Ax3ex
D.y*=x2(Ax+B)ex
10.
11.设 y=2^x，则dy等于( )．
A.x.2x-1dx
B.2x-1dx
C.2xdx
D.2xln2dx
12.
13. 设函数f(x)与g(x)均在(α，b)可导，且满足f'(x)＜g'(x)，则f(x)与g(x)的关系是
A.必有f(x)＞g(x) B.必有f(x)＜g(x) C.必有f(x)=g(x) D.不能确定大小
14.曲线y=x2+5x+4在点(-1，0)处切线的斜率为（ ）
A.A.2 B.-2 C.3 D.-3
15.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中( )．
A.A.至少有一条平行于x轴 B.至少有一条平行于y轴 C.没有一条平行于x轴 D.可能有一条平行于y轴
16.微分方程y'+y=0的通解为y=
A.e-x+C
B.-e-x+C
C.Ce-x
D.Cex
17.
18.
19.设f'(x0)=1,则等于( )．
A.A.3 B.2 C.1 D.1/2
20.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是
A.A.椭球面 B.锥面 C.柱面 D.平面
二、填空题(20题)
21.
设y=f(x)可导，点xo=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3．则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为__________．
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31. 设y=lnx，则y'=_________。
32.已知当x→0时，-1与x2是等价无穷小，则a=________。
33. f(x)=sinx，则f"(x)=_________。
34.
35.
36.
37.微分方程y"-y'-2y=0的通解为______．
38.
39.
40.
三、计算题(20题)
41.
42.
43.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则
44.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?
45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．
46.
47.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．
48. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．
49.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为
S(x)．
(1)写出S(x)的表达式；
(2)求S(x)的最大值．
50.
51.
52.证明：
53. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．
54.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．
55.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度
u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．
56.
57. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．
58.
59. 求曲线在点(1，3)处的切线方程．
60. 求微分方程的通解．
四、解答题(10题)
61. (本题满分8分)
62.
63.判定曲线y=3x3-4x2-x＋1的凹向．
64.
65.
66.
67.
68.
69.在曲线y=x2(x≥0)上某点A(a，a2)处作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的图形的面积为1/12．试求：
(1)切点A的坐标((a，a2)．
(2)过切点A的切线方程．
70.
五、高等数学(0题)
71.
六、解答题(0题)
72.求，其中区域D是由曲线y=1+x2与y=0，x=0，x=1所围成．
参考答案
1.B
2.D
A，∫1+∞xdx==∞发散；
3.A
4.B
本题考查的知识点为交换二次积分次序．
由所给二次积分可知积分区域D可以表示为
1≤y≤2，y≤x≤2，
交换积分次序后，D可以表示为
1≤x≤2，1≤y≤x，
故应选B．
5.A解析：
6.B
因为D：x2+y2≤a2，a＞0，y≥0，令则有r2≤a2，0≤r≤a，0≤θ≤π，所以(x2+y2)dxdy=∫0πdθ∫0ar2.rdr=∫0πdθ∫0ar3.rdr故选B。
7.A
8.D
9.D
特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。
10.B解析：
11.D 南微分的基本公式可知，因此选D．
12.D解析：
13.D解析：由f'(x)＜g'(x)知，在(α，b)内，g(x)的变化率大于f(x)的变化率，由于没有g(α)与f(α)的已知条件，无法判明f(x)与g(x)的关系。
14.C
点(-1，0)在曲线y=x2+5x+4上．y=x2+5x+4，y'=2x+5，由导数的几何意义可知，曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为3，所以选C．
15.A
本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义．
由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确．
如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确．
本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A．
有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误．
16.C
17.C
18.B
19.B
本题考查的知识点为导数的定义．
由题设知f'(x0)=1，又由题设条件知
可知应选B．
20.B
21.
22. 解析：
23.0
24.2/3
25.
26.(e-1)2
27.e ；本题考查的知识点为极限的运算．
注意：可以变形，化为形式的极限．但所给极限通常可以先变形：
28.
本题考查的知识点为隐函数的求导．
29.
30.x
31.1/x
32.当x→0时，-1与x2等价，应满足所以当a=2时是等价的。
33.-sinx
34.1
35.
36.1
37.y=C1e-x+C2e2x
本题考查的知识点为二阶线性常系数微分方程的求解．
特征方程为 r2-r-2=0，
特征根为 r1=-1，r2=2，
微分方程的通解为 y=C1e-x+C2ex．
38.0
39.3x+y-5z+1=03x+y-5z+1=0 解析：
40.12dx+4dy．
本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分．
41.
42.
43.由等价无穷小量的定义可知
44.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％
45.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，
46. 由一阶线性微分方程通解公式有
47.
列表：
说明
48. 函数的定义域为
注意
49.
50.
51.
则
52.
53.
54.
55.由二重积分物理意义知
56.
57.
58.
59.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点
(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为
60.
61. 本题考查的知识点为曲线的切线方程．
62.
63.解
64.本题考查的知识点为计算二重积分；选择积分次序或利用极坐标计算．
积分区域D如图2—1所示．
解法1利用极坐标系．
D可以表示为
解法2利用直角坐标系．
如果利用直角坐标计算，区域D的边界曲线关于x，y地位等同，因此选择哪种积分次序应考虑被积函数的特点．注意
可以看出，两种积分次序下的二次积分都可以进行计算，但是若先对x积分，后对y积分，将简便些．
本题中考生出现的较普遍的错误为，利用极坐标将二重积分化为二次积分：
右端被积函数中丢掉了r，这是考生应该注意的问题．通常若区域可以表示为
65.
66.
67.
68.
69.由于y=x2，则y'=2x，曲线y=x2上过点A(a，a2)的切线方程为y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，曲线y=x2，
其过点A(a，a2)的切线及x轴围成的平面图形的面积
由题设S=1/12，可得a=1， 因此A点的坐标为(1，1)．
过A点的切线方程为y-1=2(x-1)或y=2x-1．
解析：本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程。
本题在利用定积分表示平面图形时，以y为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧。
70.
71.
72.积分区域D如图1-4所示。
D可以表示为 0≤x≤1，0≤y≤1+x2
本题考查的知识点为计算二重积分，选择积分次序。
如果将二重积分化为先对x后对y的积分，将变得复杂，因此考生应该学会选择合适的积分次序。