2022年陕西省汉中市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
2.A.dx+dy
B.
C.
D.2(dx+dy)
3.曲线y=x-3在点(1,1)处的切线斜率为( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
4. 曲线y=x2+5x+4在点(-1,0)处切线的斜率为
A.2 B.-2 C.3 D.-3
5.A.e-2
B.e-1
C.e
D.e2
6.
7.
8.下列等式成立的是()。
A.
B.
C.
D.
9.
10.设f(x)为连续函数,则下列关系式中正确的是( )
A.A.
B.
C.
D.
11.若f(x)为[a,b]上的连续函数,( )。
A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不确定
12. 在空间直角坐标系中方程y2=x表示的是
A.抛物线 B.柱面 C.椭球面 D.平面
13.
14.曲线y=lnx-2在点(e,-1)的切线方程为( )
A.A.
B.
C.
D.
15.
16.在空间直角坐标系中,方程x2-4(y-1)2=0表示( )。
A.两个平面 B.双曲柱面 C.椭圆柱面 D.圆柱面
17.
18.
A.(-5,5) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(-∞,+∞)
19.下列关系正确的是( )。
A.
B.
C.
D.
20.
A.A.
B.
C.
D.
二、填空题(20题)
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.微分方程y"+y=0的通解为______.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.设区域D:x2+y2≤a2(a>0),y≥0,则x2dxdy化为极坐标系下的二重积分的表达式为________。
38.
39.设z=x2y+siny,=________。
40.
三、计算题(20题)
41.
42.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.
43.
44.
45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
46.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为
S(x).
(1)写出S(x)的表达式;
(2)求S(x)的最大值.
47. 求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.
48. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.
49. 求曲线在点(1,3)处的切线方程.
50. 求微分方程的通解.
51.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.
52.
53.
54.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量,则
55.
56. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.
57.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.
58.
59.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?
60.证明:
四、解答题(10题)
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67. (本题满分8分)
68.
69.求函数的二阶导数y''
70.
五、高等数学(0题)
71.极限
=__________.
六、解答题(0题)
72.
参考答案
1.B
2.C
3.C由导数的几何意义知,若y=f(x)可导,则曲线在点(x0,f(x0))处必定存在切线,且该切线的斜率为f"(x0)。由于y=x-3,y"=-3x-4,y"|x=1=-3,可知曲线y=x-3在点(1,1)处的切线斜率为-3,故选C。
4.C解析:
5.D由重要极限公式及极限运算性质,可知故选D.
6.C
7.C解析:
8.C
9.A
10.B
本题考查的知识点为:若f(x)可积分,则定积分的值为常数;可变上限积分求导公式的运用.
注意到A左端为定积分,定积分存在时,其值一定为常数,常量的导数等于零.因此A不正确.
由可变上限积分求导公式可知B正确.C、D都不正确.
11.C
12.B解析:空间中曲线方程应为方程组,故A不正确;三元一次方程表示空间平面,故D不正确;空间中,缺少一维坐标的方程均表示柱面,可知应选B。
13.A
14.D
15.B
16.A
17.C解析:
18.C
本题考查的知识点为判定函数的单调性。
19.C
本题考查的知识点为不定积分的性质。
20.A
21.[01)∪(1+∞)
22.极大值为8极大值为8
23.
本题考查的知识点为二重积分的计算.
24.2
本题考查的知识点为二重积分的几何意义.
由二重积分的几何意义可知,所给二重积分的值等于长为1,宽为2的矩形的面积值,故为2.或由二重积分计算可知
25.本题考查的知识点为重要极限公式。
26.1/z
本题考查了二元函数的二阶偏导数的知识点。
27.e-2
28.0
29.
30.y=C1cosx+C2sinx
本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解.
特征方程为r2+1=0,特征根为r=±i,因此所给微分方程的通解为y=C1cosx+C2sinx.
31.(02)(0,2) 解析:
32.1
33.22 解析:
34.
35.
本题考查的知识点为不定积分的凑微分法.
36.
本题考查的知识点为定积分运算.
37.因为D:x2+y2≤a2(a>0),y≥0,所以令且0≤r≤a,0≤0≤π,则=∫0πdθ∫0acos2θ.rdr=∫0πdθ∫0ar3cos2θdr。
38.00 解析:
39.由于z=x2y+siny,可知。
40.0
41.
42.
列表:
说明
43.
44.
45.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,
46.
47.
48. 函数的定义域为
注意
49.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点
(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为
50.
51.
52.
53.
54.由等价无穷小量的定义可知
55. 由一阶线性微分方程通解公式有
56.
57.由二重积分物理意义知
58.
则
59.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%
60.
61. 解D在极坐标系下可以表示为
62.
63.
64.
65.
66.
67. 本题考查的知识点为求曲线的渐近线.
由于
可知y=0为所给曲线的水平渐近线.
【解题指导】
68.
69.
70.
71.
72.