2022年湖南省郴州市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案及部分解析)
学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________
一、单选题(20题)
1.
A.
B.
C.
D.
2.
3.设f(0)=0，且存在，则等于( )．
A.A.f'(x) B.f'(0) C.f(0) D.f(x)
4.点作曲线运动时，“匀变速运动”指的是( )。
A.aτ为常量
B.an为常量
C.为常矢量
D.为常矢量
5.若xo为f(x)的极值点，则( )
A.A.f(xo)必定存在，且f(xo)=0
B.f(xo)必定存在，但f(xo)不一定等于零
C.f(xo)可能不存在
D.f(xo)必定不存在
6.函数y=ex+e-x的单调增加区间是
A.(-∞，+∞) B.(-∞，0] C.(-1，1) D.[0，+∞)
7.A.f(1)－f(0)
B.2[f(1)－f(0)]
C.2[f(2)－f(0)]
D.
8.若x→x0时，α(x)、β(x)都是无穷小(β(x)≠0)，则x→x0时，α(x)/β(x)
A.A.为无穷小 B.为无穷大 C.不存在，也不是无穷大 D.为不定型
9.
10.
A.A.Ax
B.
C.
D.
11.
12.
13.
14.（）。
A.
B.
C.
D.
15.
16.
17.
A.A.
B.
C.
D.
18.
A.A.必条件收敛 B.必绝对收敛 C.必发散 D.收敛但可能为条件收敛，也可能为绝对收敛
19.
有( )个间断点。
A.1 B.2 C.3 D.4
20.设f(x)=sin2x，则f(0)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
二、填空题(20题)
21.
22.
23.
24.
25.设y=xe，则y'=_________.
26.设y=e3x知，则y'_______。
27.函数的间断点为______．
28.
29.
30.空间直角坐标系中方程x2+y2=9表示的曲线是________。
31.微分方程exy'=1的通解为______．
32.
33.
则F(O)=_________．
34.
35.
36.函数f(x)=ex，g(x)=sinx，则f[g(x)]=__________。
37.
38.
39.
40.
三、计算题(20题)
41.
42.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度
u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．
43.
44. 求微分方程的通解．
45. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．
46.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则
47.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．
48. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．
49.
50.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．
51.
52.
53.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．
54.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?
55.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为
S(x)．
(1)写出S(x)的表达式；
(2)求S(x)的最大值．
56. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．
57.证明：
58.
59. 求曲线在点(1，3)处的切线方程．
60.
四、解答题(10题)
61.
62.求y=xex的极值及曲线的凹凸区间与拐点．
63.
64.求y"+4y'+4y=e-x的通解．
65.
66.
67.
68.(本题满分8分)计算
69.设D是由曲线x=1-y2与x轴、y轴,在第一象限围成的有界区域.求: (1)D的面积S; (2)D绕x轴旋转所得旋转体的体积V.
70.
五、高等数学(0题)
71.F(x)是f(x)的一个原函数，c为正数，则∫f(x)dx=( )。
A.
B.F(x)+c
C.F(x)+sinc
D.F(x)+lnc
六、解答题(0题)
72.
参考答案
1.B
本题考查的知识点为交换二次积分次序。
由所给二次积分可知积分区域D可以表示为 1≤y≤2，y≤x≤2，
交换积分次序后，D可以表示为 1≤x≤2，1≤y≤x， 故应选B。
2.B
3.B
本题考查的知识点为导数的定义．
由于存在，因此
可知应选B．
4.A
5.C
6.Dy=ex+e-x，则y'=ex-e-x，当x＞0时，y'＞0，所以y在区间[0，+∞)上单调递增.
7.D本题考查的知识点为定积分的性质；牛顿－莱布尼茨公式．
可知应选D．
8.D
9.C
10.D
11.C
12.A
13.D
14.A
15.C
16.C解析：
17.A
本题考查的知识点为偏导数的计算．
可知应选A．
18.D
19.C ∵x=0，1，2，是f(x)的三个孤立间断 ∴有3个间断点。
20.D由f(c)=sin2x可得f"(x)=cos2x(2x)"=2cos2x，f"(0)=2cos0=2，故选D。
21.11 解析：
22.
23.
24. 解析：
25.(x+1)ex
本题考查了函数导数的知识点。
26.3e3x
27.本题考查的知识点为判定函数的间断点．
仅当，即x=±1时，函数没有定义，因此x=±1为函数的间断点。
28.
29.
30.以Oz为轴的圆柱面方程。
F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，方程x2+y2=32=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程。
31.y=-e-x+C
本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．
可分离变量方程求解的一般方法为：
(1)变量分离；
(2)两端积分．
由于方程为exy'=1，先变形为
变量分离dy=e-xdx．
两端积分
为所求通解．
32.
本题考查的知识点为二元函数的偏导数．
33.
34.
35.0
36.由f(x)=exg(x)=sinx；∴f[g(x)]=f[sinx]=esinx
37.1/2
本题考查了对∞-∞型未定式极限的知识点，
38.
39.y=xe+Cy=xe+C 解析：
40.
41.
42.由二重积分物理意义知
43. 由一阶线性微分方程通解公式有
44.
45.
46.由等价无穷小量的定义可知
47.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，
48. 函数的定义域为
注意
49.
50.
51.
则
52.
53.
列表：
说明
54.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％
55.
56.
57.
58.
59.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．
因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．
如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点
(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为
60.
61.
62.y=xex 的定义域为(-∞，+∞)， y'=(1+x)ex， y"=(2+x)ex． 令y'=0，得驻点x1=-1． 令y"=0，得x2=-2． 极小值点为x=-1，极小值为 曲线的凹区间为(-2，+∞)； 曲线的凸区间为(-∞，-2)； 拐点为
本题考查的知识点为：描述函数几何性态的综合问题．
63.
64.相应的齐次方程为y"+4y'+4y=0，特征方程为 r2+4r+4=0，即(r+2)2=0．特征根为r=-2(二重根)．齐次方程的通解Y=(C1+C2x)e-2x．设所给方程的特解y*=Ae-x，代入所给方程可得A=1，从而y*=e-x．故原方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x+e-x．
65.
66.
67.
68.本题考查的知识点为计算反常积分．
计算反常积分应依反常积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算．
69.
70.本题考查的知识点为求解－阶线性微分方程．
将方程化为标准形式
求解一阶线性微分方程常可以采用两种解法：
解法1利用求解公式，必须先将微分方程化为标准形式y＋p(x)y＝q(x)，则
解法2利用常数变易法．
原方程相应的齐次微分方程为
令C＝C(x)，则y＝C(x)x，代入原方程，可得
可得原方程通解为y＝x(x＋C)．
本题中考生出现的较常见的错误是：
这是由于没有将所给方程化为标准方程而导致的错误．读者应该明确，上述通解公式是标准方程的通解公式．
71.D∵c>0时，与sinc均非任意常数；而c>0时lnc是任意常数。
72.