江苏省宿迁市西陈中学2022-2023学年高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则( )
A.3 B. C.3或 D.-3或
参考答案:
C
2. 在平面直角坐标系内,设、为不同的两点,直线的方程为
,.有四个判断:①若,则过、两点的直
线与直线平行;②若,则直线经过线段的中点;③存在实数,使点在
直线上;④若,则点、在直线的同侧,且直线与线段的延长线相交.
上述判断中,正确的是( )
A. ①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
参考答案:
B
3. 若,则P,Q,R的大小关系是( )
A.Q<P<R B.P<Q<R C.Q<R<P D.P<R<Q
参考答案:
D
【考点】对数值大小的比较.
【分析】5<x<6,可得P=<1.利用几何画板可得:y=log2x,y=的图象.可知:4<x<16时,2<<log2x.即可得出.
【解答】解:∵5<x<6,
∵P=<1.
利用几何画板可得:y=log2x,y=的图象.
可知:当x=4时, =log2x=2.
当x=16时, =log2x=4.
当4<x<16时,
2<<log2x.
综上可得:P<R<Q.
故选:D.
4. 已知数列{an}的前n项和Sn=2n﹣1,则a6等于( )
A.
16
B.
32
C.
63
D.
64
参考答案:
B
5. 已知集合A{x|x2﹣3x+2=0,x∈R },B={x|0<x<5,x∈N },则满足条件A?C?B的集合C的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【专题】集合.
【分析】先求出集合A,B由A?C?B 可得满足条件的集合C有{1,2,},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},可求
【解答】解:由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4},
∵A?C?B,
∴满足条件的集合C有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个,
故选D.
【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用,解题的关键是由A?C?B 找出符合条件的
6. 下列函数是偶函数且在区间上为增函数的是( )
参考答案:
D
7. 某学校有教师160人,其中高级、中级和初级职称的教师分别有32人、64人和64人.为了了解教师的身体状况,用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本.若所抽取的样本中中级职称教师有16人,则的值为
A.32 B.36 C.38 D.40
参考答案:
D
8. 实数满足条件,则的最大值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 设集合,则
A. B. C.是 D.
参考答案:
B
略
10. 下列函数中,不满足的是
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的单调递减区间是_____________.
参考答案:
(0,1)
略
12. 设,则的值为___________________
参考答案:
11
13. 若数列{an}满足,,则的最小值为
参考答案:
14. 点到直线的距离为_______.
参考答案:
略
15. 设Sn公差不为0的等差数列{}的前n项和,且S1 ,S2,S4成等比数列,则等于_____
参考答案:
16. 函数,若,则方程f(x)=a在[0,4π]内的所有实数根之和为 .
参考答案:
【分析】先化简f(x)解析式,然后作出其草图,根据图象的对称性可得答案.
【解答】解:数
=sinx+=
=,
作出函数f(x)[0,4π]内的草图,如图所示:
由图象可知f(x)=a在[0,4π]内有4个实根,x1,x2,x3,x4,
由图象的对称性知, =,
故答案为:.
17. 将函数的图像向右平移个单位,再将所得到的图像上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),则最后所得的图像的函数解析式为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.
(1)求φ;
(2) 求函数y=f(x)的单调增区间;
(3)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.
参考答案:
【知识点】三角函数的对称性;三角函数的单调区间;五点作图法.
(1) (2) 单调区间为[kπ+,kπ+],k∈Z ;(3)见解析.解:(1)因为x=是函数y=f(x)的图象的对称轴,
所以sin(2×+)=±1,即+=kπ+,k∈Z..2分
因为-π<φ<0,所以.2分
(2)由(1)知,因此y=sin(2x-).
由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,2分
所以函数y=sin(2x-)的单调增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z2分
(3)由y=sin(2x-)知: 2分
故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象是.2分
【思路点拨】(1)函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=.可得到+ =kπ+,k∈Z.由此方程求出φ值,
(2)求函数y=f(x)的单调增区间可令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解出x的取值范围即可得到函数的单调递增区间.
(3)由五点法作图的规则,列出表格,作出图象.
19. 已知圆C1的方程为x2+(y+1)2=4,圆C2的圆心坐标为(2,1).
(1)若圆C1与圆C2相交于A,B两点,且|AB|=,求点C1到直线AB距离;
(2)若圆C1与圆C2相内切,求圆C2的方程.
参考答案:
(1).(2)(x-2)2+(y-1)2=12+8.
【分析】
(1) 知直线C1C2垂直平分公共弦AB.设直线AB与C1C2的交点为P,再解直角三角形得到
点C1到直线AB的距离.(2) 由两圆相内切得|C1C2|=|r1-r2|求出r2=2+2,即得圆
C2的方程.
【详解】(1)由题设,易知直线C1C2垂直平分公共弦AB.设直线AB与C1C2的交点为P,
则在Rt△APC1中,
∵|AC1|=2,|AP|=|AB|=,
∴点C1到直线AB的距离为|C1P|=.
(2)由题设得,圆C1的圆心为C1(0,-1),半径为r1=2.
设圆C2的半径为r2,则由两圆相内切得|C1C2|=|r1-r2|?=|2-r2|,
解得r2=2+2或r2=2-2 (舍去).
故所求圆C2的方程为(x-2)2+(y-1)2=12+8.
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系,考查圆和圆的位置关系,考查圆的方程,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
20. (本小题满分12分)定义在区间上的函数的图象关于直线对称,当时函数图象如图所示.
(1)求函数在的表达式;
(2)求方程的解;
(3)是否存在常数的值,使得在上恒成立;若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1),
且过,
∵ ∴当时
而函数的图象关于直线对称,则
即,
(2)当时,
∴ 即
当时, ∴
∴方程的解集是
(3)存在假设存在,由条件得:在上恒成立
即,由图象可得: ∴
21. 有甲、乙两种商品,经销这两种商品所获的利润依次为(万元)和(万元),它们与投入的资金(万元)的关系,有经验公式为,
今有3万元资金投入经销甲、乙两种商品,为获得最大利润,应对甲、乙两种商品分别投入多少资金,使总共获得的最大利润最大,并求最大利润是多少万元?
参考答案:
解析:设投入甲商品为万元,则投入乙商品为万元,
总利润为万元 …………………………………………1分
依题意………………………………………3分
令…………………………………………4分
因为,所以……………………………………5分
所以……………………………8分
当即时取最大值,此时………………11分
答:甲投入0.75万元,乙投入2.25万元时,总共可获得最大利润1.05万元。…12分
22. 已知函数f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,若f()=﹣.
(1)求a的值,并写出函数f(x)的最小正周期(不需证明);
(2)是否存在正整数k,使得函数f(x)在区间[0,kπ]内恰有2017个零点?若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】三角函数的化简求值;函数零点的判定定理.
【分析】(1)根据f()=﹣带入即可求解a的值.因为|sinx|、|cosx|、sin2x的周期是都π,故得函数f(x)的最小正周期.
(2)令k=1,讨论[0,π]内存在的零点情况,从而讨论是否存在k内恰有2017个零点即可.
【解答】解:(1)函数f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,
∵f()=﹣.
∴a(sin+cos)﹣sin﹣1=﹣.
解得:a=1,
函数f(x)的最小正周期T=π,
(2)存在n=504,满足题意:
理由如下:
当时,,
设t=sinx+cosx,则,sin2x=t2﹣1,
则,可得 t=1或,
由t=sinx+cosx图象可知,x在上有4个零点满足题意.
当时,,t=sinx﹣cosx,
则,sin2x=1﹣t2,
,,t=1或,
∵,
∴x在上不存在零点.
综上讨论知:函数f(x)在[0,π)上有4个零点,而2017=4×504+1,
因此函数在[0,504π]有2017个零点,所以存在正整数k=504满足题意.