北京市通州区宋庄中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知定义在上的函数满足①， ②，③在上表达式为，则函数与函数的图像在区间上的交点个数为 A. 5　　 B. 6 C. 7 　 D. 8 参考答案： B 略 2. 数列的首项为，为等差数列且.若，，则（    ）   A.               B.                 C.               D. 参考答案： B 考点：累加法求数列通项 3. 是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是(      ) A．                B．  C                D． 参考答案： D 4. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5=10，S10=50，则S20等于（　　） A．90 B．250 C．210 D．850 参考答案： D 【考点】8G：等比数列的性质． 【分析】利用等比数列的求和公式，求出q5=4，，即可求得结论． 【解答】解：由题意数列的公比q≠1，设首项为a1，则 ∵S5=10，S10=50， ∴=10， =50 ∴两式相除可得1+q5=5，∴q5=4 ∴ ∴S20===850 故选D． 5. 某程序框图如右图所示，若输出的S=57，则判断框内填 A. B. C. D. 参考答案： A 略 6. 已知圆 的焦点，则|CF|等于（    ）        A．6      B．4       C．2      D．0 参考答案： C 7. 如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角的菱形，，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（   ） （A）    （B）    （C）   （D） 参考答案： C 略 8. “sinxcosx＞0”是“sinx＋cosx＞1”的 A．必要不充分条件    B．充分不必要条件 C．充分必要条件      D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 9. 执行右边的程序框图1，输出的T= A．6                        B．8                 C．10                       D．15                       参考答案： C 略 10. 函数是 （　　　　）     (A) 周期为的奇函数              (B)周期为的偶函数 (C) 周期为的奇函数                (D) 周期为的偶函数 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l. 过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B. 设C（p,0），AF与BC相交于点E. 若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________. 参考答案： 试题分析：抛物线的普通方程为，，，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，，所以，． 12. 在等差数列{an}中，a1＝－7,，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为____． 参考答案： 13. 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为   ． 参考答案： x=﹣2 考点：抛物线的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求出双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得 =2，即可得到结果． 解答： 解：∵双曲线的标准形式为：， ∴c=2，双曲线的右焦点为F（2，0）， ∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合， ∴=2，可得p=4． 故答案为：x=﹣2 点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题． 14. ＝________.     参考答案： 36 15. 已知，则     参考答案： 16. 已知，则不等式的解集是   ▲   ．来 参考答案： 略 17. 将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图像向左平移个单位，得到了一个偶函数的图像，则的最小值为          . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （满分12分）如右图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中点。 （Ⅰ）求证：B1C//平面A1BD； （Ⅰ）求二面角A—A1B—D的余弦值。   参考答案： 解：(1)证明：连交于点，连. 则是的中点， ∵是的中点，∴ ∵平面，平面，∴∥平面.…………………6分  (2)法一：设,∵,∴,且， 作，连 ∵平面⊥平面，∴平面， ∴∴就是二面角的平面角， 在中，， 在中， ，即二面角的余弦值是.…………12分 解法二：如图，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴，，， 设平面的法向量是，则 由，取 设平面的法向量是，则 由，取 记二面角的大小是，则， 即二面角的余弦值是.…………………………12分 19. 已知函数（，为自然对数的底数） （Ⅰ）若函数有三个极值点，求的取值范围 （Ⅱ）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值 参考答案： 解：（I） …………………………4分 （II）不等式 ，即，即. 转化为存在实数，使对任意的， 不等式恒成立. 即不等式在上恒成立. 即不等式在上恒成立……………………6分 设，则. 设，则，因为，有. 故在区间上是减函数………………………8分 又 故存在，使得. 当时，有，当时，有. 从而在区间上递增，在区间上递减………10分 又 所以当时，恒有；当时，恒有； 故使命题成立的正整数的最大值为5.…………………………12分   略 20. 设数列的前项和为，且 ；数列为等差数列，且 . （1）求数列的通项公式； （2）若(=1,2,3…)，为数列的前项和.求. 参考答案： 解：（1）由，令，则，又， 所以 …2分 当时，由，可得，即   ………4分 所以是以为首项，为公比的等比数列，于是  …………6分 （2）数列为等差数列，公差,可得…………7分 从而，       ………………11分 .   ……………………12分 21. (本小题满分12分)已知点点分别是轴和轴上的动点，且，动点满足，设动点的轨迹为E. （1）求曲线E的方程； （2）点Q（1,a），M,N为曲线E上不同的三点，且，过M,N两点分别作曲线E的切线，记两切线的交点为，求的最小值. 参考答案： 设 ，由得  ………………4分 （2）解法一：易知，设，，， 设的方程为 联立方程 消去，得，所以 .                  同理，设的方程为，.             ……………… 6分 对函数求导，得， 所以抛物线在点处的切线斜率为， 所以切线的方程为， 即. 同理，抛物线在点处的切线的方程为.…………… 8分   联立两条切线的方程 解得，， 所以点的坐标为. 因此点在直线上.  …10分 因为点到直线的距离， 所以，当且仅当点时等号成立．    由，得，验证知符合题意. 所以当时，有最小值.              ………………12分 解法二：由题意，，设，，， 对函数求导，得， 所以抛物线在点处的切线斜率为， 所以切线的方程为， 即. 同理，抛物线在点处的切线的方程为. 联立两条切线的方程 解得，，                 ………………8分 又 由得 所以点在直线上                ………………10分 因为点到直线的距离， 所以，当且仅当点时等号成立． 有最小值.                            ………………12分   22. 已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1． （1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间； （2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由； （3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得f′（1）=1，列出方程求出a的值，代入函数解析式和导数，分别求出f′（x）＞0、f′（x）＜0对应的x的范围，即求出函数f（x）的单调区间； （2）解法一：根据函数f（x）的单调性得：＞，由对数的运算律、单调性化简即可， 解法二：将化为：，由二项式定理化简=，再由放缩法和裂项相消法进行化简； （3）先将kx＞f（x）+2分离出k：，构造函数g（x）=，再求出此函数的导数g′（x）并化简，再构造函数并二次求导，通过特殊函数值的符号，确定函数零点所在的区间，列出表格判断出g（x）的单调性，从而求出g（x）的最大值，再由自变量的范围确定出g（x）的最大值的范围，从而求出满足条件的k的最小值． 【解答】解：（1）依题意，（x＞0）， 所以=， 由切线方程得f′（1）=1，即=1，解得a=0， 此时（x＞0），， 令f′（x）＞0得，1﹣lnx＞0，解得0＜x＜e； 令f′（x）＜0得，1﹣lnx＜0，解得x＞e， 所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）． （2）解法一： 由（1）知，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以f＞f， 即＞，则2015ln2014＞2014ln2015， 所以ln20142015＞ln20152014，即20142015＞20152014 解法二： =， 因为= =1+1+++…+ ＜2+ ＜2+ ＜2+（1﹣）+（）+…+（﹣） =3﹣＜3， 所以，所以20142015＞20152014． （3）若kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立，则， 记g（x）=，只需k＞g（x）max． 又=， 记h（x）=1﹣2x﹣2lnx（x＞0），则， 所以h（x）在（0，+∞）上单调递减． 又h（1）=﹣1＜0，=1﹣+ln2＞1﹣+ln2=ln＞0， 所以存在唯一，使得h（x0）=0，即1﹣2x0﹣2lnx0=0， 当x＞0时，h（x）、g′（x）、g（x）的变化情况如下： x （0，x0） x0 （x0，+∞） h（x） + 0 ﹣ g′（x） + 0 ﹣ g（x） ↗ 极大值 ↘   所以g（x）max=g（x0）=， 又因为1﹣2x0﹣2lnx0=0，所以2x0+2lnx0=1， 所以g（x0）===， 因为，所以，所以，（13分） 又g（x）max≥g（1）=2，所以， 因为k＞g（x）max，即k＞g（x0），且k∈Z，故k的最小整数值为3． 所以存在最小整数k=3，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立．（14分） 【点评】本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值之间的关系，恒成立问题转化为求函数的最值，以及构造法、二次求导判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力，化简计算能力．