四川省攀枝花市第十六中学校高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 集合,,则( )
A. B. C . D .
参考答案:
C
2. 设函数与的图象在y轴右侧的第一个交点为A,过点A作y轴的平行线交函数的图象于点B,则线段AB的长度为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
由方程组,即,即,即,
又,联立得,
解得或(舍去),则,
又因为,
故选C.
3. 一个几何体的三视图如右上图所示,则这个几何体的体积是
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 已知两条平行直线 ,之间的距离为1,与圆:相切,与C相交于A,B两点,则( )
A. B. C. 3 D.
参考答案:
D
【分析】
根据题意,由直线与圆相切的性质可得圆心到直线 的距离为2,进而可得圆心到直线的距离,结合直线与圆的位置关系及垂径定理分析可得答案.
【详解】解:根据题意,与圆:相切,则圆心到直线的距离为2,
又由两条平行直线,之间的距离为1,则圆心到直线的距离,
则;
故选:D.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,涉及弦长的计算,属于基础题.
5. 函数的图象大致是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
6. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数,如果是偶数,就将它减半 (即);如果是奇数,则将它乘3加1(即),不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.
对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明,也不能否定,现在请你研究:如果对正整数(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1(注:1可以多次出现),则的所有不同值的个数为( )
A.4 B.6 C.32 D.128
参考答案:
B
【知识点】合情推理与演绎推理
【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为共六个不同取值
故答案为:B
7. 已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1,F2,若双曲线C上存在一点P,使得△PF1F2为等腰三角形,且cos∠F1PF2=,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
参考答案:
C
考点:双曲线的简单性质.
专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:运用双曲线的定义和等腰三角形的定义,由离心率公式,计算即可得到
解答: 解:由双曲线的定义可得,||PF1|﹣|PF2||=2a,
由△PF1F2为等腰三角形,则|PF1|=|F1F2|或|F1F2|=|PF2|,
即有|PF2|=2c﹣2a或|PF1|=2c﹣2a,
即有cos∠F1PF2==
∴e==2.
故选:C.
点评:本题考查双曲线的定义和性质,考查离心率的求法,考查运算能力,属于基础题.
8. 下列函数中,对于,同时满足条件和的函数是
(A) (C)
(B) (D)
参考答案:
D
9. (5分)(2014?分宜县校级二模)已知函数y=f(x)对任意的x∈(﹣,)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】: 利用导数研究函数的单调性.
【专题】: 导数的综合应用.
【分析】: 根据条件构造函数g(x)=,求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论.
解:构造函数g(x)=,
则g′(x)==
∵对任意的x∈(﹣,)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0,
∴g′(x)>0,即函数g(x)在x∈(﹣,)单调递增,
则g(﹣)<g(﹣),即<,
∴f(﹣)<f(﹣),故A正确.
∵g()>g(),即>,
∴f()>f(),故B错误,
∵g(0)<g(),即<,
∴f(0)<f(),故C错误,
∵g(0)<g(),即<,
∴f(0)<2f().故D错误.
故选:A.
【点评】: 本题主要考查函数单调性的应用,利用条件构造函数是解决本题的关键,综合性较强,有一点的难度.
10. 在△ABC中,,,且,则AB=( )
A. B. 5 C. D.
参考答案:
A
【分析】
中,由正弦定理得,又,所以,再利用余弦定理,即可求解,得到答案。
【详解】在中,因为,
由正弦定理知,又,所以,
又由余弦定理知:,
解得,即,故选A。
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用,其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系,熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键.在中,通常涉及三边三角,知三(除已知三角外)求三,可解出三角形,当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时,运用正弦定理求解;当涉及三边或两边及其夹角时,运用余弦定理求解.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知一组抛物线,其中为2、4中任取的一个数,为1、3、5中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是 。
参考答案:
略
12.
从某自动包装机包装的白糖中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:)
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5g—501.5g之间的概率约为 。
参考答案:
答案:0.25
13. 计算:_________.
参考答案:
由该定积分的几何意义可知为半圆:的面积
14. 若关于,的不等式组(为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则的值为 .
参考答案:
先做出不等式对应的区域如图。因为直线过定点,且不等式表示的区域在直线的下方,所以三角形ABC为不等式组对应的平面区域,三角形的高为1,所以,所以,当时,,所以,解得。
15. 口袋中装有大小质地都相同、编号为1,2,3,4,5,6的球各一只.现从中一次性随机地取出两个球,设取出的两球中较小的编号为,则随机变量的数学期望是 .
参考答案:
16. 已知正方形边长为1,是线段的中点,则____.
参考答案:
【考点】平面向量。
解析:以B为原点,BC向右方向为x轴正方向,BA向上方向为y轴正方向,建立直角坐标系,则各点坐标为:A(0,1),B(0,0),D(1,1),E(1,),
所以,=(1,-)(1,1)=,答案:
17. 已知半径为的球中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_____________.
参考答案:
32
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与拋物线交于两点,设到准线的距离.
(1)若,求拋物线的标准方程;
(2)若,求直线的斜率.
参考答案:
(1)∵,∴,∴,得
∴抛物线为;
(2)设,由得:
∴,则
设直线的方程为,由 ,得,
即,∴,
∴,整理得,
∴,∴,依题意,∴.
21.
19. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,为极点,点(2,),().
(1)求经过,,的圆的极坐标方程;
(2)以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆的参数方程为是参数,为半径),若圆与圆相切,求半径的值.
参考答案:
(I) ………5分
(II)或. ………10分
20. 如图,在△ABC中,M是边BC的中点,cos∠BAM=,tan∠AMC=﹣.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若角∠BAC=,BC边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.
参考答案:
【考点】HT:三角形中的几何计算.
【分析】(Ⅰ)根据三角形的性质和内角和的定理,转化为和与差公式求解即可.
(Ⅱ)利用余弦定理求解出BM,即可求解△ABC的面积
【解答】解:(Ⅰ)由,
得:,
∴.
又∠AMC=∠BAM+∠B,
∴=;
又B∈(0,π),
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.角∠BAC=,
∴C=.
则AB=BC.
设MB=x,
则AB=2x.
在△ABM中由余弦定理,得AM2=AB2+MB2﹣2AB?BMcosB,即7x2=21.
解得:.
故得△ABC的面积.
21. (本小题满分12分)在中,分别是角的对边,且,
(Ⅰ)求的度数;
(Ⅱ)若,求和的值.
参考答案:
22. 如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,O为AC的中点,点P为平面ABCD外一点,且平面PAC⊥平面ABCD,PO=1,PA=2.
(1)求证:PO⊥平面ABCD;
(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)推导出AO⊥PO,由此能证明PO⊥平面ABCD.
(2)以O为原点,OB,OC,OP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
【解答】证明:(1)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,AO=,
又∵PO=1,PA=2,∴PO2+AO2=PA2,
∴AO⊥PO,
∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,
PO?平面PAC,
∴PO⊥平面ABCD.
解:(2)以O为原点,OB,OC,OP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,﹣,0),B(1,0,0),C(0,,0),P(0,0,1),
=(1,0,﹣1),=(﹣1,,0),=(0,,1),
设平面PBC的法向量=(x,y,z),
则,取x=,得=(),
设直线PA与平面PBC所成角为θ,
则sinθ===.
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.