2022年辽宁省大连市旅顺第二高级中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.
设是定义在R上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数t的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
答案:A
2. (2)命题“对任意,都有”的否定为
(A)对任意,使得 (B)不存在,使得
(C)存在,都有 (D)存在,都有
参考答案:
A.
3. 已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是( )
A.(-,-1)∪(-1,0) B.(-,-1)∪(0,+)
参考答案:
B
4. 若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)﹣g(x)=ex,则有( )
A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2)
C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3)
参考答案:
D
【考点】函数奇偶性的性质;奇偶性与单调性的综合.
【专题】压轴题.
【分析】因为函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,所以f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x).
用﹣x代换x得:f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣f(x)﹣g(x)=e﹣x,又由f(x)﹣g(x)=ex联立方程组,可求出f(x),g(x)的解析式进而得到答案.
【解答】解:用﹣x代换x得:f(﹣x)﹣g(﹣x)=e﹣x,即f(x)+g(x)=﹣e﹣x,
又∵f(x)﹣g(x)=ex
∴解得:,,
分析选项可得:
对于A:f(2)>0,f(3)>0,g(0)=﹣1,故A错误;
对于B:f(x)单调递增,则f(3)>f(2),故B错误;
对于C:f(2)>0,f(3)>0,g(0)=﹣1,故C错误;
对于D:f(x)单调递增,则f(3)>f(2),且f(3)>f(2)>0,而g(0)=﹣1<0,D正确;
故选D.
【点评】本题考查函数的奇偶性性质的应用.另外还考查了指数函数的单调性.
5. “a=1"是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;空间中直线与直线之间的位置关系.A2 G3
解析:由题意可得a×(a+2)-3 =0,解之可得a=1或-3,所以“a=1"是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的充分不必要条件,故选B
【思路点拨】由a×(a+2)-3 =0可得直线垂直的充要条件为a=1或-3,进而可得对结果作出判断.
6. 在△ABC中,D是边BC的中点, =t(+),且?=,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰(非等边)三角形 D.三边均不相等的三角形
参考答案:
A
【考点】向量加减混合运算及其几何意义;平面向量数量积的运算.
【分析】由题意可知D在∠BAC的平分线上,故AB=AC,由夹角公式得到∠BAC=,问题得以解决.
【解答】解:由=t(+)知D在∠BAC的平分线上,故AB=AC,
由?==cos∠BAC,故∠BAC=,
故△ABC为等边三角形,
故选:A.
7. 三次函数f(x)=ax3﹣x2+2x+1的图象在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,则实数a=( )
A. B. C.1 D.2
参考答案:
A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出f(x)的导数,可得x=1处切线的斜率,由切线与x轴平行,可得切线的斜率为0,解方程可得a的值.
【解答】解:函数f(x)=ax3﹣x2+2x+1的导数为f′(x)=3ax2﹣3x+2,
由f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,
可得f′(1)=0,即3a﹣3+2=0,
解得a=.
故选:A.
8. 在等差数列中,已知,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 已知函数,,若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,则实数k的取值范围是( )
A B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
由题意与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,即,等价于,数形结合求解.
【详解】由于与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,则
,即
所以指数函数与在恒有交点
当直线与相切时,由于,设切点
此时切线方程:过(0,0)
因此:
数形结合可知:或时,与有交点
又要求在恒有交点,
由图像,当时,,当时,
综上:解得
故选:D
【点睛】本题考查了函数的对称性问题,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算能力,属于较难题.
10. 已知,若的最小值是,则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,…,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.那么是斐波那契数到中的第 ▲ 项.
参考答案:
2016
12. 函数f(x)=ln(3﹣2x)+的定义域为 .
参考答案:
【考点】函数的定义域及其求法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域.
【解答】解:要使函数有意义,则,
即,即﹣2≤x<,
即函数的定义域为,
故答案为:
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.
13. 设,满足约束条件,若目标函数的最大值为6,则______.
参考答案:
2
14. 设x,y满足不等式组,则z=﹣2x+y的最小值为 .
参考答案:
﹣6
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到结论.
【解答】解:不等式组对应的平面区域如图:
由z=﹣2x+y得y=2x+z,
平移直线y=2x+z,则由图象可知当直线y=2x+z经过点A时,直线y=2x+z的截距最小,
此时z最小,由,解得,即A(4,2),
此时z=﹣2×4+2=﹣6,
故答案为:﹣6.
15. 若实数满足,则的最小值是 .
参考答案:
6
16. 已知x、y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为7,则的最小值为 .
参考答案:
7
【考点】基本不等式在最值问题中的应用;简单线性规划.
【专题】计算题;不等式的解法及应用.
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,利用直线平移法求出当x=3且y=4时,z=ax+by取得最大值为7,即3a+4b=7.再利用整体代换法,根据基本不等式加以计算,可得当a=b=1时的最小值为7.
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,0),B(3,4),C(0,1)
设z=F(x,y)=ax+by(a>0,b>0),
将直线l:z=ax+by进行平移,并观察直线l在x轴上的截距变化,
可得当l经过点B时,目标函数z达到最大值.
∴zmax=F(3,4)=7,即3a+4b=7.
因此,=(3a+4b)()=[25+12()],
∵a>0,b>0,可得≥2=2,
∴≥(25+12×2)=7,当且仅当a=b=1时,的最小值为7.
故答案为:7
【点评】本题给出二元一次不等式组,在目标函数z=ax+by的最大值为7的情况下求的最小值.着重考查了简单的性质规划、利用基本不等式求最值等知识,属于中档题.
17. 某校高中共有720人,其中理科生480人,文科生240人,现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生参加调研,则抽取理科生的人数 .
参考答案:
60
由题意结合分层抽样的概念可得:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列的前项和为,,,.
⑴求的通项公式.⑵证明:对,.
参考答案:
⑴依题意,,……1分,
所以是首项为、公比为的等比数列……3分,所以,.
⑵对,……7分,,所以,
……9分,所以
……10分,两式相减,整理得
…11分,…13分,.
19. (本小题满分12分)
已知椭圆的右准线,右焦点到上顶点的距离为,.
( I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点是线段上的一个动点,是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.
参考答案:
解: (1)由题意可知,又,解得,
椭圆的方程为;……………………………(4分)
(2)由(1)得,所以.假设存在满足题意的直线,设的方程为
,代入,得,
设,则 ①,……………………………(8分)
,
而的方向向量为,
当时,,即存在这样的直线;
当时,不存在,即不存在这样的直线 . ……………………………(12分)
20. 已知全集,.
(1)若,求
(2)若,求实数的取值范围
参考答案:
解:
(Ⅰ)当时,,
(Ⅱ)当时,即,得,此时有;
当时,由得:
解得
综上有实数的取值范围是
略
21. 已知f(x)=?,其中=(2cosx,﹣sin2x),=(cosx,1),x∈R.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=﹣1,a=,且向量=(3,sinB)与=(2,sinC)共线,求边长b和c的值.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算;正弦定理;余弦定理.
【分析】(1)利用向量的数量积公式得到f(x)的解析式,然后化简求单调区间;
(2)利用向量共线,得到b,c的方程解之.
【解答】解:(1)由题意知.3分
∵y=cosx在a2上单调递减,∴令,得
∴f(x)的单调递减区间,6分
(2)∵,∴,又,∴,即,8分
∵,由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣3bc=7.10分
因为向量与共线,所以2sinB=3sinC,由正弦定理得2b=3c.
∴b=3,c=2.12 分.
22. (本小题满分10分)在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线,已知过点的直线的参数方程为 (为参数),直线与曲线分别交于两点。
(1)写出曲线和直线的普通方程;
(2)若成等比数列,求的值
参考答案:
(1)C:
(2)将直线的参数表达式代入抛物线得
代入得