内蒙古自治区呼和浩特市华立中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量，满足||=，||=1，且对任意实数x，不等式|+x|≥|+|恒成立，设与的夹角为θ，则tan2θ=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
参考答案：
D
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．
【分析】由题意，当（）时，对于任意实数x，不等式|+x|≥|+|恒成立，此时tanθ=，由此能求出tan2θ．
【解答】解：由平面向量加法的几何意义，只有当（）时，对于任意实数x，不等式|+x|≥|+|恒成立，如图所示，
设或，
斜边大于直角边恒成立，
则不等式|+x|≥|+|恒成立，
∵向量，满足||=，||=1，
∴tanθ=﹣2，
∴tan2θ=．
故选：D．
另：将不等式|+x|≥|+|两边平方得到不等式|+x|2≥|+|2，展开整理得得，恒成立，
所以判别式，解得cosθ=，sinθ=，所以tanθ=﹣2，tan2θ=；
故选D．
【点评】本题考查tan2θ的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识和数形结合思想的合理运用．
2. 抛物线x2=4y的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，﹣1）
参考答案：
C
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线x2 =4y 中，p=2， =1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为 （0，1 ），
故选 C．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 x2=2p y 的焦点坐标为（0，），属基础题．
3. 设集合P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞a，a∈R}，则“a=1”是“P?M”的( )
A．必要不充分条件 B．充要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
参考答案：
D
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题．
【分析】由a=1，可得P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞1}，P?M；由P?M，则a＜2，可判断
【解答】解：若a=1，P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞1}
此时P?M
若P?M，则a＜2，但是不一定是1
故“a=1”是“P?M”充分不必要条件‘
故选D
【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断，要注意与集合的包含关系的相互转化关系的应用．
4. 在数列中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
5. 若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011(x∈R)，则 的值为 ( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
参考答案：
B
略
6. 正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2则( )
参考答案：
B
7. 《九章算术》是我国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数．如图程序框图的算法思路源于“更相减损术”，若输入的a，b，i分别为18,14,0，则输出的a, i算得（ ）
A．16 B．32 C．64 D．8
参考答案：
C
由题意得，依次运行程序框图所示的程序可得，
第一次：；
第二次：；
第三次：；
第四次：；
第五次：
第六次：。故满足，输出。
所以。选C。
8. 是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
9. “a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案：
C
10. 通过随机询问100名性别不同的高二学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
10
40
50
不爱好
20
30
50
总计
30
70
100
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
其中
则下列结论正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为 ．
参考答案：
【考点】CF：几何概型．
【分析】根据几何概型，求出阴影部分的面积，即可得到结论．
【解答】解：将图形平均分成四个部分，则每个图形空白处的面积为2（﹣×1×1）=2（）=﹣1，
阴影部分的面积为π×12﹣4（﹣1）=4﹣π，
∴根据几何概型的概率公式可得点落在星形区域内的概率为=，
故答案为：．
12. ___________
参考答案：
ln2-1/2
略
13. 已知函数，若则=
参考答案：
略
14. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，则在［1500，3000］（元）月收入段应抽出 人
参考答案：
130
15. 直线l与圆相交于A,B两点，若弦AB的中点，则直线l的方程为_____________
参考答案：
16. 设S为复数集C的非空子集.若对任意，都
有，则称S为封闭集.下列命题：
① 集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；
② 若S为封闭集，则一定有；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
参考答案：
①②
略
17. 甲、乙两队各有n个队员，已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次 （同队的队员之间不握手），从这n2次的握手中任意取两次．记事件A：两次握手中恰有3个队员参与．若事件A发生的概率P＜，则n的最小值是_____________．
参考答案：
20
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分15分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
参考答案：
解：(1)由题意得
解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1. ……7分
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝
＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为
S＝|MN|·d＝.
由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1. ……15分
19. 在平面直角坐标系中，已知曲线，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.
（1）将曲线上所 有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值.
参考答案：
略
20. （本小题满分12分）求经过点A(0, 4) 且与抛物线y 2 = 16 x只有一个交点的直线方程。
参考答案：
21. 求函数f (x) =︱sinx + cosx +tanx + cotx + secx + cscx︱ 的最小值 . 其中 secx=, cscx= .
参考答案：
解析：设 u = sin x + cos x , 则 sin x cos x = ( u2 － 1 ) .
sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x = u + , ( 5 分 )
当 u > 1 时 , f ( x ) = 1 + u －1 + 1 + 2 . ( 5 分 )
当 u < 1 时 , f ( x ) = －1 + 1－u + 2－1 ( u = 1－时等号成立 ) . ( 5 分)
因此, f ( x ) 的最小值是 2－1 . ( 5 分 )
22. 是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是 ．
参考答案：
略