2022年江苏省苏州市昆山第一中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 7. 若是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题： ① 若；      ② 若； ③ 若；           ④ 若，则 其中正确命题的个数为                   A．1         B．2         C．3         D．4 参考答案： B 略 2. 点P是曲线x2﹣y﹣2ln=0上任意一点，则点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】导数的运算；两条直线平行的判定；两条平行直线间的距离． 【分析】求出函数的导函数，令导函数等于已知直线的斜率求出x的值，即与直线4x+4y+1=0平行的切线的切点横坐标，代入曲线方程求出切点坐标，利用点到直线的距离公式求出切点到直线的距离，即最小距离． 【解答】解：即 ∴ 又4x+4y+1=0即为y=﹣x 令得 与直线4x+4y+1=0平行的切线的切点为 ∴点P到直线4x+4y+1=0的最小距离是 故选B 3. 设,若是与的等比中项，则的最小值为（　  ）． A.      　　 　B.     　　C.     　 　D. 参考答案： B 略 4. 若函数在区间内可导，且则 的值为（    ） A       B       C       D    参考答案： B       5. 直线的参数方程是（  ） A （t为参数）         B （t为参数） C （t为参数）         D （t为参数） 参考答案： C 略 6. 在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从下往上数第四层有（   ）盏灯. A．8                   B．12             C．16           D．24 参考答案： D 7. 已知，且则一定成立的是（  ） A、     B、    C、     D、 参考答案： D 8. 复数的虚部是 (A)       (B)-1      (C)      (D)1 参考答案： C 9. 下列函数中最小值是2的是                           (  )                                    A.               B． C．             D．× 参考答案： D 10. 曲线y＝x2－2在点处切线的倾斜角为(　　) A．1                                        B. C.π                                         D．－ 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 把53名同学分成若干小组，使每组至少一人，且任意两组的人数不等，则最多分成        个小组. 参考答案： 9 ∵， 又， ∴， 即将8个人从第二组开始每组分1人，从而得到第一组1人，第二组3人，第三组4人，……，第九组10人，由此可得至多可以分为9个组．   12. 若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________________． 参考答案： x2＋y2－4x－2y＝0 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，∴由互化公式知x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0. 13. 已知,则________ 参考答案： -4 略 14. 某算法的程序框图如右边所示，则输出的S的值为         参考答案： 15. 已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是____________ 参考答案： 或 略 16. 如下图，已知是椭圆 的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为    __     ； 参考答案： 17. 在各棱长都为的正三棱柱中，M为的中点，为的中点，则与侧面所成角的正切值为________________； 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）甲、乙两名运动员在次训练中的得分情况如下面的茎叶图所示. （Ⅰ）分别计算甲、乙训练得分的平均数和方差，并指出谁的训练成绩更好，为什么？（Ⅱ）从甲、乙两名运动的训练成绩中各随机抽取次的得分，分别记为，设，分别求出取得最大值和最小值时的概率. 参考答案： （Ⅰ），；…………2分 ，…4分 ，说明乙的平均水平比甲高，乙的训练成绩比甲稳定，∴乙的训练成绩更好些. ………………………………………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）的可能取值为，的可能取值为，………………………………8分 ∴取得最大值时的概率为,………………………………………………10分 取得最小值时的概率为.…………………………………………………12分 19. 汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）． 定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线． 设计一款汽车前灯，已知灯口直径为，灯深（如图）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为轴建立平面直角坐标系（如图）． 抛物线上点到焦点距离为，且在轴上方．研究以下问题： 求抛物线的标准方程和准线方程． 参考答案： 见解析． 解：设抛物线的方程为：， 由于灯口直径为，灯深，故点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线为标准方程为：，准线方程为． 20. （本题满分12分） 已知定义在上的函数，其中为常数． （1）若是函数的一个极值点，求的值； （2）若函数在区间上是增函数，求的取值范围． 参考答案： 解：（1）a=1．经检验，x=1是函数的一个极值点    （2）。 21. 已知命题p：?x0∈[﹣1，1]，满足x02+x0﹣a+1＞0，命题q：?t∈（0，1），方程x2+=1都表示焦点在y轴上的椭圆．若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假． 【分析】在命题p中，因为?x0∈[﹣1，1]，满足，所以只要的最大值满足不等式即可，这样求出该最大值，即可得到a的取值范围．同样根据命题q中的方程表示椭圆，求出a的取值范围．容易判断命题p和q中一真一假，所以分p真，q假和p假，q真讨论，求对应的a的取值范围，然后求这两种情况的并集即可． 【解答】解：因为?x0∈[﹣1，1]，满足，所以只须； ∵，∴x0=1时，的最大值为3﹣a，∴3﹣a＞0，所以命题p：a＜3； 因为?t∈（0，1），方程都表示焦点在y轴上的椭圆，所以t2﹣（2a+2）t+a2+2a+1＞1即t2﹣（2a+2）t+a2+2a=（t﹣a）（t﹣（a+2））＞0对t∈（0，1）恒成立，只须a+2≤0或a≥1，得a≤﹣2或a≥1； 根据已知条件知，p和q中一真一假： 若p真q假，得，即﹣2＜a＜1； 若p假q真，得，得a≥3 综上所述，﹣2＜a＜1，或a≥3； ∴a的取值范围为（﹣2，1）∪[3，+∞）． 22. 已知A（﹣2，0），B（2，0），点C，D依次满足|=2，．求点D的轨迹． 参考答案： 【考点】轨迹方程． 【分析】求出向量的坐标，利用|=2，得轨迹方程，即可求点D的轨迹． 【解答】解：设． =（x0+6，y0）=（x+2，y），∴x0=2x﹣2，y0=2y， 代入|=2，得x2+y2=1． 所以，点D的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．