河北省承德市台头山中学2022年高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若是2和8的等比中项,则圆锥曲线的离心率是 ( )
A. 或 B. C.或 D.
参考答案:
C
2. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为,,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
3. 已知函数恰有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A. (-1,0) B. (-1,+∞)
C. (-2,0) D. (-2,-1)
参考答案:
A
【分析】
先将函数有零点,转化为对应方程有实根,构造函数,对函数求导,利用导数方法判断函数单调性,再结合图像,即可求出结果.
【详解】由得,
令,
则,
设,
则,
由得;由得,
所以在上单调递减,在上单调递增;
因此,
所以在上恒成立;
所以,由得;由得;
因此,在上单调递减,在上单调递增;
所以;
又当时,,,
作出函数图像如下:
因为函数恰有两个零点,
所以与有两不同交点,
由图像可得:实数的取值范围是.
故选A
【点睛】本题主要考查函数零点以及导数应用,通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理,通过对函数求导,利用导数的方法研究函数单调性、最值等,根据数形结合的思想求解,属于常考题型.
4. 已知,则最小值是( )
A.2 B. C.3 D.4
参考答案:
D
略
5. 如果全集,,,则等于( )
A. B.(2,4) C. D.
参考答案:
A
6. 设,,…,,n∈N,则= ( )
A. B. C. D.-
参考答案:
A
略
7. 设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为( )
A. B. C. D.1
参考答案:
C
略
8. 若M(x,y)满足,则M的轨迹( )
A.双曲线 B.直线 C.椭圆 D.圆
参考答案:
C
【考点】轨迹方程.
【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意, =,可得(x,y)到(2,1)的距离与到直线2x+y﹣4=0的距离的比为,即可得出结论.
【解答】解:,可化为=,
∴(x,y)到(2,1)的距离与到直线2x+y﹣4=0的距离的比为,
利用椭圆的定义,可得轨迹是椭圆.
故选:C.
【点评】本题考查曲线与方程,考查椭圆的定义,正确变形是关键.
9. 已知椭圆的左、右焦点分別为F1,F2,过F2的直线与椭圆交于A,B两点,若是以A为直角项点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在半径为1的圆上随机地取两点,连成一条弦,则其长超过圆内接正n边形(n4)的边长的概率是 .
参考答案:
(n-2)/n (n4)
12. 观察下列数的特点:在1,2,2,3,3,3,4,4,4,4…中,第100项的值是 .
参考答案:
14
【考点】归纳推理.
【专题】规律型;等差数列与等比数列;推理和证明.
【分析】由已知中的数列,可得1有1个,2有2个,3有3个,…n有n个,进而可得答案.
【解答】解:在1,2,2,3,3,3,4,4,4,4…中,
1有1个,2有2个,3有3个,…n有n个,
当n=13时,共有1+2+…+13=91项
当n=14时,共有1+2+…+14=105项
故第100项是14,
故答案为:14
【点评】归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
13. 设有一个等边三角形网格,其中各个最小等边三角形的边长都是4 cm,现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率
参考答案:
14. 已知某圆锥体的底面半径r=3,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥体的表面积是 .
参考答案:
36π
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【分析】圆锥的底面周长为侧面展开图的弧长,利用弧长公式计算展开图的半径即圆锥的母线长,代入公式计算得出面积.
【解答】解:圆锥的底面积S底=π×32=9π,
圆锥侧面展开图的弧长为2π×3=6π,
∴圆锥侧面展开图的扇形半径为=9.
圆锥的侧面积S侧==27π.
∴圆锥的表面积S=S底+S侧=36π.
故答案为:36π.
15. 已知函数的定义域为,集合,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是 ▲ .
参考答案:
16. 如果直线l:x+y﹣b=0与曲线有公共点,那么b的取值范围是 .
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系;函数的零点.
【分析】根据同角三角函数关系,换元得到点M(cosα,sinα)是曲线C上的点,其中0≤α≤π.因此问题转化为方程cosα+sinα﹣b=0,在区间[0,α]上有解,利用变量分离并结合正弦函数的图象与性质,即可算出实数b的取值范围.
【解答】解:对于曲线,设x=cosα,则y==sinα(0≤α≤π)
因此点M(cosα,sinα)是曲线C上的点,其中0≤α≤π
∵线l:x+y﹣b=0与曲线C有公共点
∴方程cosα+sinα﹣b=0,在区间[0,α]上有解
即b=cosα+sinα=sin()
∵∈[,],可得sin()∈[﹣,1]
∴b=sin()∈[﹣1,]
即直线l:x+y﹣b=0与曲线有公共点时,b的取值范围是[﹣1,]
故答案为:[﹣1,]
17. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成的角的大小为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)给出如下程序.(其中x满足:0-1,