河南省开封市铁路中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则的定义域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. (7)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长( )
A. B. 2 C. D.2
参考答案:
D
略
3. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则角A等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 已知函数,则( )
A.30 B.6 C.210 D.9
参考答案:
B
5. 设f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且在(0,+∞)是增函数,又
f(3)=0,则x?f(x)<0的解集是( )
A.{x|﹣3<x<0或0<x<3} B.{x|x<﹣3或x>3}
C.{x|0<x<3或x<﹣3} D.{x|﹣3<x<0或x>3}
参考答案:
A
6. 在△ABC中,若,,则△ABC的周长为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
根据正弦定理, ,那么 , ,所以周长等于
,故选C.
7. 下列写法正确的是( )
A.?∈{0} B.??{0} C.0?? D.???R?
参考答案:
B
【考点】元素与集合关系的判断.
【分析】根据空集的定义,空集是指不含有任何元素的集合,结合元素和集合关系、集合和集合关系的判断;由?是任何集合的子集,知??{0}.
【解答】解:元素与集合间的关系是用“∈”,“?”表示,
故选项A、D不正确;
∵?是不含任何元素的
∴选项C不正确
∵?是任何集合的子集
故选:B.
8. 已知a、b为非零实数,且a<b,则下列不等式成立的是( )
A.a2<b2 B. C. D.
参考答案:
C
【考点】71:不等关系与不等式.
【分析】给实数a,b 在其取值范围内任取2个值a=﹣3,b=1,代入各个选项进行验证,A、B、D都不成立.
【解答】解:∵实数a,b满足a<0<b,
若 a=﹣3,b=1,则 A、B、D都不成立,只有C成立,
故选 C.
9. 已知正项数列满足: ,设数列的前项的和,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 直线与轴所围成的三角形的周长等于( )
A、 B、12 C、24 D、60
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,且,则________.
参考答案:
试题分析:由得:
解方程组:得:或
因为,所以所以不合题意,舍去
所以,所以,答案应填:.
考点:同角三角函数的基本关系和两角差的三角函数公式.
12. (5分)已知集合M={1,2,3,4},A?M,集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”,且规定:当集合A只有一个元素时,其累积值即为该元素的数值,空集的累积值为0.设集合A的累积值为n.
(1)若n=3,则这样的集合A共有 个;(2)若n为偶数,则这样的集合A共有 个.
参考答案:
2,13。
考点: 元素与集合关系的判断.
专题: 压轴题.
分析: 对重新定义问题,要读懂题意,用列举法来解,先看出集合A是集合M的子集,则可能的情况有24种,再分情况讨论.
解答: 若n=3,据“累积值”的定义,得A={3}或A={1,3},这样的集合A共有2个.
因为集合M的子集共有24=16个,其中“累积值”为奇数的子集为{1},{3},{1,3}共3个,所以“累积值”为偶数的集合共有13个.
故答案为2,13.
点评: 这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题,重在理解题意.本题是开放型的问题,要认真分析条件,探求结论,对分析问题解决问题的能力要求较高.
13. 已知函数y=f(x)是R上的奇函数,且在区间(0,+∞)单调递增,若f(﹣2)=0,则不等式xf(x)<0的解集是 .
参考答案:
(﹣2,0)∪(0,2)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】函数y=f(x)是R上的奇函数,在区间(0,+∞)单调递增即在R上单调递增,f(﹣2)=﹣f(2)=0,即f(2)=0,分段讨论x的值,可得不等式xf(x)<0的解集.
【解答】解:函数y=f(x)是R上的奇函数,在区间(0,+∞)单调递增
∴函数y=f(x)在R上单调递增,且f(0)=0
∵f(﹣2)=﹣f(2)=0,即f(2)=0.
∴当x<﹣2时,f(x)<0,
当﹣2<x<0时,f(x)>0,
当0<x<2时,f(x)<0,
当x>2时,f(x)>0,
那么:xf(x)<0,即或,
∴得:﹣2<x<0或0<x<2.
故答案为(﹣2,0)∪(0,2).
【点评】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的运用,考查了讨论的思想.属于基础题.
14. 在△ABC中,,则△ABC是______三角形.
参考答案:
直角
【分析】
已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,表示出,再利用余弦定理表示出,两者相等变形后,利用勾股定理即可对于三角形形状做出判断.
【详解】∵在△ABC中,,即,
,
由余弦定理得:,即,
整理得:,即,
则△ABC为直角三角形,
故答案为:直角
【点睛】此题考查了余弦定理,以及勾股定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
15. 幂函数当时为减函数,则实数m的值为 .
参考答案:
2
16. 比较大小: 。
参考答案:
<
17. 某火车驶出站5千米后,以60千米/小时的速度行驶了50分钟,则在这段时间内火车与站的距离(千米)与(小时)之间的函数解析式是____________.
参考答案:
由问题的背景可得:50分钟=小时,则.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分14分).
某校从高一年级学生中随机抽取60名学生,将其期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段,,…,后得到如下频率分布直方图.
(1)求分数在内的频率;
(2)用分层抽样的方法在80分以上(含80分)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任意选取2人,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.
参考答案:
(14分).解:(1)分数在内的频率为:
.……… 3分
(2). 由题意,分数段的人数为:人;………4分
分数段的人数为:人; ………………5分
∵用分层抽样的方法在80分以上(含80分)的学生中抽取一个容量为6的样本,
∴分数段抽取=5人, ……7分
分数段抽取=1人, ……9分
抽取分数段5人,分别记为a,b,c,d,e;
抽取分数段抽取1人记为m. ………10分
因为从样本中任取2人,其中恰有1人的分数不低于90分,
则另一人的分数一定是在分数段,所以只需在分数段抽取的5人中确定1人.
设“从样本中任取2人,其中恰有1人的分数不低于90分为”事件, …11分
则基本事件空间包含的基本事件有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),(a,m),(b,m),(c,m),(d,m),(e,m)共15种.……12分
事件包含的基本事件有(a,m),(b,m),(c,m),(d,m),(e,m)共5种. ………13分
∴恰有1人的分数不低于90分的概率为. ………14分
略
19. 已知函数.
(1)在如图给定的直角坐标系内画出的图像;
(2)写出的单调递增区间及值域;
(3)求不等式的解集.
参考答案:
(2)由图可知的单调递增区间, 值域为;
(3)令,解得或(舍去); ks5u
令,解得。 结合图像可知的解集为
20. (1)计算:(﹣)0+8+.
(2)化简:log3.
参考答案:
【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值.
【分析】(1)根据指数幂的运算性质计算即可,
(2)根据对数的运算性质计算即可.
【解答】解:(1)原式=1+2+π﹣3=π,
(2)原式=log3()+lg(25×4)+2=1+2+2=5
21. 已知函数是定义在上的偶函数,且当时,.现已画出函数在轴左侧的图象,如图所示,并根据图象:ks5u
(1)写出函数的增区间;ks5u
(2)写出函数的解析式;
(3)若函数,求函数的最小值.
参考答案:
(1)在区间, 上单调递增. 4分(图象与单调区间各2分)
(2)设,则.
函数是定义在上的偶函数,且当时,
6分
(3),对称轴方程为:,
当时,为最小;
当时,为最小;ks5u
当时,为最小. ks5u
综上有:的最小值为 12分(每一个各2分)
略
22. 函数的定义域为,且满足对于定义域内任意的都有等式.
(1)求的值;
(2)判断的奇偶性并证明;
(3)若,且在上是增函数,解关于的不等式
.
参考答案:
(1) 令可得.
(2)令
为偶函数
(3)
略