2022年广西壮族自治区柳州市民族高级中学高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如下图,将半径为l的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点,此点落在星形区域内的概率为
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 若,则的值为( )
A. 3 B.5 C. D.
参考答案:
D
由,可得.
.
故选D.
3. 已知是单位向量,且的夹角为,若向量满足|﹣+2|=2,则||的最大值为( )
A. 2+ B. 2﹣ C. +2 D. ﹣2
参考答案:
A
略
4. 曲线上切点为的切线方程是( )
(A) (B) (C) (D)或
参考答案:
A
导数则切线斜率,所以切线方程为,即切线为选A.
5. 若,则的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(0,)
C.(,1) D.(0,1)∪(1,+∞)
参考答案:
C
6. 设,则二项式展开式中不含项的系数和是
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 执行如图所示的程序框图,那么输出的的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 已知函数与其导函数的图象如图,则满足的的取值范围为( )
A.(0,4) B.(-∞,0),(1,4) C. D.(0,1)(4,+∞)
参考答案:
D
9. 从集合任意取出两个数,这两个数的和是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 若直线与不等式组表示的平面区域无公共点,则的取值范围是
A. B. C. D.R
参考答案:
【知识点】简单的线性规划 E5
【答案解析】C 解析:不等式组表示的平面区域是由点围成的三角形区域(包括边界)
若直线与此平面区域无公共点,
则,
表示的平面区域是如图所示的三角形区域(除去边界和原点)
设,平移直线,
当直线经过点A1(0,1)时,z最大为z=3,
当经过点B1(-2,-1)时,z最小为z=-7
所以的取值范围是
故选:C
【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域,利用直线与平面区域无公共点建立满足的条件关系,即可得到结论
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过双曲线的右焦点F和虚轴端点B作一条直线,若右顶点A到直线FB的距离等于,则双曲线的离心率
参考答案:
2
略
12. 数列{an}中,a2n=a2n﹣1+(﹣1)n,a2n+1=a2n+n,a1=1则a100= .
参考答案:
1226
【考点】8H:数列递推式.
【分析】利用数列的递推关系式,推出偶数项的关系,然后求解即可.
【解答】解:数列{an}中,a2n=a2n﹣1+(﹣1)n,a1=1,
则a2=1﹣1=0,a2n=a2n﹣1+(﹣1)n,可得:a2n+2=a2n+1+(﹣1)n+1,a2n+1=a2n+n,
可得a2n+2=a2n+n+(﹣1)n+1,
a4=a2+1+(﹣1)1+1,
a6=a4+2+(﹣1)2+1,
a8=a6+3+(﹣1)3+1,
…
a100=a98+49+(﹣1)49+1,
可得a100=0+1+2+3+…+49+1﹣1+1﹣1+…+1
==1226.
故答案为:1226.
13. (6分)关于曲线C:=1,给出下列四个结论:
①曲线C是椭圆;
②关于坐标原点中心对称;
③关于直线y=x轴对称;
④所围成封闭图形面积小于8.
则其中正确结论的序号是 .(注:把你认为正确命题的序号都填上)
参考答案:
②④
考点: 椭圆的简单性质.
专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: ①根据椭圆的方程判断曲线C:=1不是椭圆;
②把曲线C中的(x,y )同时换成(﹣x,﹣y ),判断曲线C是否关于原点对称;
③把曲线C中的(x,y )同时换成(y,x ),判断曲线C是否关于直线y=x对称;
④根据|x|≤2,|y|≤1,判断曲线C:=1所围成的封闭面积是否小于8.
解答: 解:对于①,∵曲线C:=1,不是椭圆方程,∴曲线C不是椭圆,∴①错误;
对于②,把曲线C中的(x,y )同时换成(﹣x,﹣y ),方程不变,∴曲线C关于原点对称,②正确;
对于③,把曲线C中的(x,y )同时换成(y,x ),方程变为+x4=1,∴曲线C不关于直线y=x对称,③错误;
对于④,∵|x|≤2,|y|≤1,∴曲线C:=1所围成的封闭面积小于4×2=8,∴④正确.
综上,正确的命题是②④.
故答案为:②④.
点评: 本题考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题,解题时应结合圆锥曲线的定义域性质进行解答,是基础题.
14. 已知数列若,求=_______。(用数字作答)
参考答案:
923
略
15. 函数y=sin2x的最小正周期是 .
参考答案:
π
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【分析】由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的周期为,可得结论.
【解答】解:函数y=sin2x的最小正周期是=π,
故答案为:π.
16. 若实数x,y满足,且z=mx﹣y(m<2)的最小值为﹣,则m= .
参考答案:
﹣1
【考点】简单线性规划.
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断目标函数的最优解,求解即可.
【解答】解:实数x,y满足约束条件的可行域如图所示,
z=mx﹣y(m<2)的最小值为﹣,
可知目标函数的最优解过点A,
由,解得A(,3),
∴﹣=a﹣3,
解得m=1,
故答案为:﹣1
17. 已知函数,则f(1+log25)的值为 .
参考答案:
【考点】函数的值.
【分析】已知分段函数的解析式,把1+log25代入相对应的函数值,再进行代入分段函数进行求解;
【解答】解,
∵1+log25<4,
f(1+log25)=f(2+log25)==,
故答案为:;
【点评】分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证;
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x﹣)2+(y+1)2=9,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)直线OP:θ=(p∈R)与圆C交于点M,N,求线段MN的长.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)利用直角坐标方程化为极坐标方程的方法,求圆C的极坐标方程;
(2)利用|MN|=|ρ1﹣ρ2|,求线段MN的长.
【解答】解:(1)(x﹣)2+(y+1)2=9可化为x2+y2﹣2x+2y﹣5=0,
故其极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0.…
(2)将θ=代入ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0,得ρ2﹣2ρ﹣5=0,
∴ρ1+ρ2=2,ρ1ρ2=﹣5,
∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|==2.…
19. (本小题满分12分)
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,Q是棱PA上的动点。
(Ⅰ)若PB=PD,求证:BD⊥CQ;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若PA=PC,PB=3,∠ABC=60o,求四棱锥P-ABCD的体积。
参考答案:
略
20. (本小题满分14分)
已知椭圆与双曲线有公共的焦点,且椭圆过点.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)直线过点M交椭圆于A、B两点,且,求直线的方程.
参考答案:
解:(1)设椭圆方程为(>b>0).………1分
双曲线的焦点坐标分别为和
椭圆焦点坐标分别为和 c=1,即………①
又椭圆过点,………② ………4分
由① ②得,,∴所求椭圆方程为 . ………7分
(2) 若直线的斜率k不存在,即轴,由椭圆的对称性知,则不满足.
当直线的斜率k存在时,设直线的方程为.………2分
设A则---------① --------
② (点差法)
由知M为AB的中点, ………4分
①-②得
∴,.∴直线的方程为:即.…7
21. 本题计14分)点M在椭圆上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.
(I)若圆M与y轴相交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程;
(II)已知点F(1,0),设过点F的直线交椭圆于C、D两点,若直线绕点F任意转动时,恒有成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(I)ABM是边长为2的正三角形,∴圆的半径r=2,
∴M到y轴的距离 又圆M与x轴相切,∴当∴
∴ ∴解得a=3或a=-1(舍去),则 故所求椭圆方程为
(II)(方法1)①当直线l垂直于x轴时,把x=1代入,得
解得(舍去),即 ②当l不垂直x轴时,设,直线AB的方程为
得
则
得恒成立.
,由题意得,恒成立. 当不是恒成立的.
当,恒成立.当恒成立,
,
解得
综上,a的取值范围是
(方法2)设
①当直线CD与x轴重合时,有
恒有
②当直线C不与x轴重合时,设直线CD的方程为
整理得
恒为钝角,
则恒成立
又恒成立,
即恒成立.当时,
解得
综上,a的取值范围是
22. (本小题满分12分)
在中,角的对边分别为,且,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
参考答案:
(1);
(2).