江西省吉安市芙蓉中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若定义在R上的偶函数满足,且当时,,则函数的零点个数是 ( )
A.0 B.2 C.4 D.8
参考答案:
C
2. 执行如图所示的程序框图,如果输出的k的值为3,则输入的a的值可以是( )
A.20 B.21 C.22 D.23
参考答案:
A
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的k,S的值,由题意,当S=21时,应该不满足条件S≤a,退出循环输出k的值为3,从而结合选项可得输入的a的值.
【解答】解:由题意,模拟执行程序,可得
k=0,S=0,
满足条件S≤a,S=2×0+3=3,k=0+1=1
满足条件S≤a,S=2×3+3=9,k=1+1=2
满足条件S≤a,S=2×9+3=21,k=2+1=3
由题意,此时,应该不满足条件21≤a,退出循环,输出k的值为3,从而结合选项可得输入的a的值为20.
故选:A.
3. 若当时,函数取得最小值,则函数是( )
A.奇函数且图像关于点对称 B.偶函数且图像关于点对称
C.奇函数且图像关于直线对称 D.偶函数且图像关于点对称
参考答案:
C
4. 命题p:若·>0,则与的夹角为锐角;命题q:若函数f(x)在及(0,+)上都是减函数,则f(x)在(-,+)上是减函数,下列说法中正确的是
A.“p或q”是真命题 B.“p或q”是假命题
C.非p为假命题 D.非q为假命题
参考答案:
B
5. 在极坐标系中,点 到圆 的圆心的距离为( )
A 2 B C D
参考答案:
D
略
6. 三棱锥P-ABC中,顶点P在平面ABC上的射影为,满足,A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心,PA =6,则此三棱锥体积最大值是( )
A.12 B.36 C.48 D.24
参考答案:
B
略
7. 已知一实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆,将6个这样的几何体熔化成一实心正方体,则该正方体的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 已知是方程的解, 是方程的解, 函数 ,则 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
9. 若=__________.
A.1 B.—1 C.2 D.—2
参考答案:
A
略
10. 若,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 二项式的展开式中的常数项为 .
参考答案:
略
12. 某校有高级教师26人,中级教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其他教师中共抽取了16人,则该校共有教师 人.
参考答案:
182
13. 已知集合A={x|y=lg(2﹣x)},集合B=[y|y=},则A∩B= .
参考答案:
[0,2)
【考点】交集及其运算.
【分析】通过求两个函数的定义域和值域化简两个集合、利用交集的定义求出两个集合的交集.
【解答】解:A={x|y=lg(2﹣x)}=(﹣∞,2),B={y|y=}=[0,+∞),
则A∩B=[0,2),
故答案为:[0,2).
【点评】本题考查函数定义域的求法:注意求定义域时开偶次方根被开方数大于等于0,对数的真数大于0.利用交集的定义求交集.
14. 设函数,给出以下四个命题:①当c=0时,有②当b=0,c>0时,方程③函数的图象关于点(0,c)对称 ④当x>0时;函数,。其中正确的命题的序号是_________。
参考答案:
1.2.3
略
15. 若圆锥底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为 ▲ .
参考答案:
略
16.
已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切,若球心到二面角的棱的距离是,切点到二面角棱的距离是1,则球的体积是 。
参考答案:
答案:
17. 如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,点P是MD的中点.若=2,=1,且BAD=60o,则 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=lnx﹣x2+ax,
(1)当x∈(1,+∞)时,函数f(x)为递减函数,求a的取值范围;
(2)设f'(x)是函数f(x)的导函数,x1,x2是函数f(x)的两个零点,且x1<x2,求证
(3)证明当n≥2时,.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)求出函数的导数,问题转化为即a≤2x﹣恒成立,求出a的范围即可;
(2)求出a,得到f′()=﹣,问题转化为证明>ln,令t=,∵0<x1<x2,∴0<t<1,即证明u(t)=+lnt<0在0<t<1上恒成立,根据函数的单调性证明即可;
(3)令a=1,得到lnx≤x2﹣x,得到x>1时,>,分别令x=2,3,4,5,…n,累加即可.
【解答】(1)解:∵x∈(1,+∞)时,函数f(x)为递减函数,
∴f′(x)=﹣2x+a≤0在(1,+∞)恒成立,
即a≤2x﹣恒成立,
而y=2x﹣在(1,+∞)递增,
故2x﹣>1,
故a≤1;
(2)证明:∵f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0),
∴方程lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1,x2,
则 lnx1﹣+ax1=0,①,lnx2﹣+ax2=0,②,
两式相减得a=(x1+x2)﹣,
又f(x)=lnx﹣x2+ax,f′(x)=﹣2x+a,
则f′()=﹣(x1+x2)+a=﹣,
要证﹣<0,
即证明>ln,
令t=,∵0<x1<x2,∴0<t<1,
即证明u(t)=+lnt<0在0<t<1上恒成立,
∵u′(t)=,
又0<t<1,∴u'(t)>0,
∴u(t)在(0,1)上是增函数,则u(t)<u(1)=0,
从而知﹣<0,
故f′()<0成立;
(3)证明:令a=1,由(1)得:f(x)在(1,+∞)递减,
∴f(x)=lnx﹣x2+x≤f(1)=0,
故lnx≤x2﹣x,
x>1时,>,
分别令x=2,3,4,5,…n,
故++…+>++…+=1﹣,
∴++…+>1﹣,
即左边>1﹣>1,得证.
19. 如图四棱锥中,是梯形,AB∥CD,,AB=PD=4,CD=2,,M为CD的中点,N为PB上一点,且。
(1)若MN∥平面PAD;
(2)若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为,
求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值。
参考答案:
(1)证明:若,
连接EN,DE,
EN∥AB,且
M为CD的中点,CD=2,
又AB∥CD,EN DM
四边形DMNE是平行四边形,MN∥DE,
又平面PAD,MN平面PAD,
MN∥平面PAD…………………………………………………6分
(2)如图所示,过点D作DHAB于H,则DHCD,
则以D为坐标原点建立空间直角坐标D-yz,
点D(0,0,0),M(0,1,0),
C(0,2,0),B(2,2,0),A(2,-2,0),
P(0,0,4),=(2,0,0),=(0,-2,4),
,
该平面PBC的法向量为,则
令z=1,y=2,x=0,
该直线AN与平面PBC所成的角为,则
解得
设直线AD与直线CN所成角为,
则
所以直线AD与直线CN所成角的余弦值为………………12分
20. 已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
3
2
4
0
4
(Ⅰ)求的标准方程;
(Ⅱ)请问是否存在直线满足条件:①过的焦点;②与交不同两点且满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
参考答案:
解:(Ⅰ)设抛物线,则有,据此验证个点知(3,)、(4,4)在抛物线上,易求 ………………2分
设:,把点(2,0)(,)代入得:
解得
∴方程为 …………………………………………5分
(Ⅱ)法一:
假设存在这样的直线过抛物线焦点,设直线的方程为两交点坐标为,
由消去,得…………………………7分
∴ ①
② ………………………9分
由,即,得
将①②代入(*)式,得, 解得 …………………11分
所以假设成立,即存在直线满足条件,且的方程为:或…………………………………………………………………………………12分
法二:容易验证直线的斜率不存在时,不满足题意;……………………………6分
当直线斜率存在时,假设存在直线过抛物线焦点,设其方程为,与的交点坐标为
由消掉,得 , …………8分
于是 , ①
即 ② …………………………10分
由,即,得
将①、②代入(*)式,得 ,解得;……11分
所以存在直线满足条件,且的方程为:或.………12分
略
21. 设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线率为2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)证明:f(x)≤2x﹣2.
参考答案:
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,再利用f(1)=0以及f′(1)=2建立方程组,联解可得a,b的值;
(Ⅱ)转化为证明函数y=f(x)﹣(2x﹣2)的最大值不超过0,用导数工具讨论单调性,可得此函数的最大值.
【解答】解:
(Ⅰ)f'(x)=1+2ax+,
由已知条件得:,即
解之得:a=﹣1,b=3
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞),由(Ⅰ)知f(x)=x﹣x2+3lnx,
设g(x)=f(x)﹣(2x﹣2)=2﹣x﹣x2+3lnx,则
=
当时0<x<1,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0
所以在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减
∴g(x)在x=1处取得最大值g(1)=0
即当x>0时,函数g(x)≤0
∴f(x)≤2x﹣2在(0,+∞)上恒成立
22. (本小题满分14分)已知函数.
(1)当时,求函数在区间上的取值范围;
(2)当时,,求的值.
参考答案: