浙江省杭州市建德育才中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知复数,则的虚部为 ( )
(A) -1 (B) -i (C) 1 (D) i
参考答案:
C
= ,所以虚部为1,选C.
2. 函数的图象大致是( )
参考答案:
A
略
3. 已知集合U={a,b,c,d,e},M={a,d},N={a,c,e},则M∪eUN为
A.{c,e} B.{a,b,d} C.{b,d} D.{a,c,d,e}
参考答案:
B
4. 设全集则上图中阴影部分表示的集合( )
A. B.
C.{x|x>0} D.
参考答案:
A
略
5. 已知函数满足条件:对于,存在唯一的,使得.当成立时,则实数( )
A. B. C.+3 D.+3.
参考答案:
D
由题设条件对于,存在唯一的,使得知在和上单调,得,且.由有,解之得,故
6. 1.复数 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 下列命题中,假命题的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
【知识点】指数函数与对数函数B6,B7
【答案解析】B 解析:解:由题意可分析每一个选项,可知当时,,所以B为假命题,所以应选B.
【思路点拨】根据指数函数与对数函数的性质,对每一个选项进行分析.
8. 已知集合,,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S4﹣S1=7a2,a3=5,则Sn=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】设正项等比数列{an}的公比为q>0,q≠1,由S4﹣S1=7a2,a3=5,可得a4+a3+a2=7a2,即=6a2, =5,联立解得q,a1.利用求和公式即可得出.
【解答】解:设正项等比数列{an}的公比为q>0,q≠1,∵S4﹣S1=7a2,a3=5,
∴a4+a3+a2=7a2,即=6a2, =5,
联立解得q=2,a1=.
则Sn==5×2n﹣2﹣.
故选:D.
【点评】本题考查了比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
10. 已知函数,则( )
A.在时取得最小值,其图像关于点对称
B.在时取得最小值,其图像关于点对称
C.在单调递减,其图像关于直线对称
D.在单调递增,其图像关于直线对称
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在5×5的表格填上数字,设在第i行第j列所组成的数字为aij,aij∈{0,1},aij=aji(1≤i,j≤5),则表格中共有5个1的填表方法种数为 .
参考答案:
326
【考点】排列、组合的实际应用.
【分析】根据题意,按数字1出现的位置分三种情况讨论,①、5个1都出现在i=j即a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中,②、有1个1出现在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中,剩余4个1在其他位置,③、有3个1出现在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中,剩余2个1在其他位置,分别求出每种情况下填表方法的数目,进而由分类计数原理计算可得答案.
【解答】解:根据题意,在5×5的表格中,有5个i=j的表格,即a11、a22、a33、a44、a55,10个i>j的表格,10个i<j的表格;
要求5×5的表格种恰有5个1,则对1出现的位置分3种情况讨论:
①、5个1都出现在i=j即a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中,有1种情况;
②、有1个1出现在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中,剩余4个1在其他位置,
需要先在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中,选出1个,有C51种情况,
在剩下的10个aij(i>j)表格中,任选2个,有C102种情况,
则有C51×C102=225种填表方法;
③、有3个1出现在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中,剩余2个1在其他位置,
需要先在a11、a22、a33、a44、a55这5个表格中,选出3个,有C53种情况,
在剩下的10个aij(i>j)表格中,任选1个,有C101种情况,
则有C53×C101=100种填表方法;
则一共有1+225+100=326种填表方法;
故答案为:326.
12. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若满足a=4,A=30°的三角形的个数恰好为一个,则b的取值范围是 .
参考答案:
(0,4]∪{8}
【考点】解三角形.
【分析】利用正弦定理得出b=8sinB,根据B+C的度数和三角形只有一解,可得B只有一个值,根据正弦函数的性质得到B的范围,从而得出b的范围.
【解答】解:∵A=30°,a=4,
根据正弦定理得:,
∴b=8sinB,
又B+C=180°﹣30°=150°,且三角形只一解,可得B有一个值,
∴0<B≤30°,或B=90°.
∴0<sinB≤,或sinB=1,
又b=8sinB,
∴b的取值范围为(0,4]∪{8}.
故答案为:(0,4]∪{8}.
【点评】本题考查了正弦定理,正弦函数的性质,特殊角的三角函数值,属于中档题.
13. 已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数c的值为________.
参考答案:
9
14. 函数f(x)= x﹣lnx的单调减区间为 ▲ .
参考答案:
(0,1]
15. 在中,内角所对的边分别是.已知,,则的值为_______.
参考答案:
.
试题分析:∵代入得,由余弦定理得.
考点:1.正弦定理;2.余弦定理的推论.
16. 已知P(2,m)为角终边上一点,且,则_________.
参考答案:
17. 已知函数则=_______________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数,其中向量,,,且的图象经过点.(1)求实数的值;(2)求的最小正周期;(3)求在[0,]上的单调增区间.
参考答案:
解:(1),
∵图象经过点,
∴,解得. ………………5分
(2)当时,, ………………7分
∴ ………………9分
(3),,∴ ………………11分
由,得 ………………13分
∴在[0,]上的单调增区间为.
19. 在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中,甲、乙两班各有6名选手参赛,在第一轮笔试环节中,评委将他们的笔试成绩作为样本数据,绘制成如图所示的茎叶图,为了增加结果的神秘感,主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩,只是告诉大家,如果某位选手的成绩高于90分(不含90分),则直接“晋级”
(Ⅰ)求乙班总分超过甲班的概率
(Ⅱ)主持人最后宣布:甲班第六位选手的得分是90分,乙班第六位选手的得分是97分
①请你从平均分光和方差的角度来分析两个班的选手的情况;
②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个,记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
参考答案:
【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图.
【分析】(Ⅰ)先分别求出甲班前5位选手的总分和乙班前5位选手的总分,由此利用列举法能求出乙班总分超过甲班的概率.
(Ⅱ)①分别求出甲、乙两班平均分和方差,由此能求出甲班选手间的实力相当,相差不大,乙班选手间实力悬殊,差距较大.
②ξ的可能取值为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和E(ξ).
【解答】解:(Ⅰ)甲班前5位选手的总分为88+89+90+91+92=450,
乙班前5位选手的总分为82+84+92+91+94=443,
若乙班总分超过甲班,则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为:
(90,98),(90,99),(91,99),共三个,
∴乙班总分超过甲班的概率为p==.
(Ⅱ)①甲班平均分为=(88+89+90+91+92+90)=90,
乙班平均数为=(82+84+92+91+94+97)=90,
甲班方差为S2甲=(22+12+12+22)=,
乙班方差为S2乙=(82+62+22+12+42+72)=,
两班的平均分相同,但甲班选手的方差小于乙班,
故甲班选手间的实力相当,相差不大,乙班选手间实力悬殊,差距较大.
②ξ的可能取值为0,1,2,3,4,
P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==,
∴ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E(ξ)==2.
20. 如图(1)在等腰中,D,E,F分别是AB,AC和BC边的中点,,现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))
(I)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(II)求二面角E-DF-C的余弦值;
参考答案:
21. (本小题满分12分)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且
(I)求角B的大小。
(II)若,求△ABC的面积最大值.
参考答案:
22. (本小题满分14分)
某工厂生产A、B两种型号的产品,每种型号的产品在出厂时按质量分为一等品和二等品. 为便于掌握生产状况,质检时将产品分为每20件一组,分别记录每组一等品的件数. 现随机抽取了5组的质检记录,其一等品数如下面的茎叶图所示:
(1)试根据茎叶图所提供的数据,分别计算A、B两种产品为一等品的概率PA、PB;
(2)已知每件产品的利润如表一所示,用、分别
表示一件A、B型产品的利润,在(1)的条件下,
求、的分布列及数学期望(均值)、;
(3)已知生产一件产品所需用的配件数和成本资金如表二所示,该厂有配件30件,可用资金40万元,设、分别表示生产A、B两种产品的数量,在(2)的条件下,求、为何值时,最大?最大值是多少?(解答时须给出图示)
参考答案:
解:(1) 由茎叶图知 ;……2分
. …………………4分
(2)随机变量、的分布列是
4
3
P
0.68
0.32
3
2
P
0.71
0.29
………6分
∴ ,. ………8分
(3)由题设知,目标函数为
,
………………………10分
作出可行域如图所