湖北省孝感市三里中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图程序框图中,若输入m=4,n=10,则输出a,i的值分别是( )
A.12,4 B.16,5 C.20,5 D.24,6
参考答案:
C
【考点】程序框图.
【专题】图表型;算法和程序框图.
【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的i,a的值,当a=20时,满足条件n整除a,退出循环,输出a的值为20,i的值为5.
【解答】解:模拟执行程序,可得
m=4,n=10,i=1
a=4,
不满足条件n整除a,i=2,a=8
不满足条件n整除a,i=3,a=12
不满足条件n整除a,i=4,a=16
不满足条件n整除a,i=5,a=20
满足条件n整除a,退出循环,输出a的值为20,i的值为5.
故选:C.
【点评】本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的i,a的值是解题的关键,属于基本知识的考查.
2. 已知△ABC为等腰三角形,满足,,若P为底BC上的动点,则
A.有最大值8 B.是定值2 C.有最小值1 D.是定值4
参考答案:
D
3. 设是锐角,若,则的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 等差数列{an}中,a1+a4 +a7 =39,a2 +a5+a8 =33,则a6的值为
A.10 B.9
C.8 D.7
参考答案:
B
略
5. 求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积,其中正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【考点】定积分的简单应用.
【分析】画出图象确定所求区域,用定积分即可求解.
【解答】解:如图所示S=S△ABO﹣S曲边梯形ABO,故选:B.
6. 函数的反函数是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
7. 已知实数x,y满足不等式组若目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围为( ).
A.(-∞,-1) B.(0,1)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
参考答案:
【知识点】D 简单的线性规划问题E5
【答案解析】不等式
的可行域将目标函数变形得y=ax+z,当z最大时,直线的纵截距最大,画出直线y=ax将a变化,结合图象得到当a>1时,直线经过(1,3)时纵截距最大.故选D.
【思路点拨】画出不等式组不是的可行域,将目标函数变形,数形结合判断出z最大时,a的取值范围.
8. 通过模拟实验的方法可以模拟今后三天的降雨情况,现利用计算机产生0到9之间取整数的随机数,设1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;因为是3天,所以每三个随机数作为一组,共产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
就相当于做了20次试验,估计三天中恰有两天下雨的概率为( )
A.20% B.25% C.40% D.80%
参考答案:
B
【考点】模拟方法估计概率.
【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数,在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共5组随机数,根据概率公式,得到结果.
【解答】解:由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数,
在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有:191、271、932、812、393,共5组随机数,
∴所求概率为=25%.
故选B.
【点评】本题考查模拟方法估计概率,解题主要依据是等可能事件的概率,注意列举法在本题的应用.
9. 直线与圆交于E.F两点,则EOF(O为原点)的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 双曲线的左、右焦点分别为,P在双曲线的右支,且,.则C的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
根据勾股定理可求得,利用双曲线定义可知,从而可得到的关系,进而得到离心率.
【详解】由题意知:
又,
根据双曲线定义可知:
本题正确选项:C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)(2009?辽宁)若函数f(x)=在x=1处取极值,则a= .
参考答案:
3
【考点】: 利用导数研究函数的极值.
【专题】: 计算题;压轴题.
【分析】: 先求出f′(x),因为x=1处取极值,所以1是f′(x)=0的根,代入求出a即可.
解:f′(x)==.
因为f(x)在1处取极值,
所以1是f′(x)=0的根,
将x=1代入得a=3.
故答案为3
【点评】: 考查学生利用导数研究函数极值的能力.
12. 过点的直线与圆交于两点,当最小时,直线的方程为 。
参考答案:
略
13. (5分)(2015?泰州一模)函数y=的定义域为 .
参考答案:
[2,+∞)
【考点】: 函数的定义域及其求法.
【专题】: 计算题;函数的性质及应用.
【分析】: 由根式内部的代数式大于等于0,然后求解指数不等式.
解:由2x﹣4≥0,得2x≥4,则x≥2.
∴函数y=的定义域为[2,+∞).
故答案为:[2,+∞).
【点评】: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了指数不等式的解法,是基础题.
14. 已知+=2,则a= .
参考答案:
【考点】对数的运算性质.
【专题】计算题.
【分析】利用换底公式对等式进行化简,便可求出a值.
【解答】解:,
可化为loga2+loga3=2,即loga6=2,
所以a2=6,又a>0,所以a=.
故答案为:.
【点评】本题主要考查对数的运算性质及其应用,考查运算能力,熟记相关公式并能灵活应用是解决该类题目的基础.
15. 已知是虚数单位,若 ,则的值为 ▲ 。
参考答案:
-3
知识点:复数代数形式的乘除运算;复数相等的条件.
解析 :解:由,得.
所以.则.
故答案为.
思路点拨:把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简,然后利用复数相等的条件求出a,b的值,则答案可求.
16. 已知数列满足,(,),且是递减数列,是时递增数列,则__________.
参考答案:
111.Com]
由于是递减数列,因此,于是①因为,所以②.由①②知.因为③逆增数列,所以,所以.于是
所以.故填.
17. 过点(3,﹣3)引圆(x﹣1)2+y2=4的切线,则切线方程为 .
参考答案:
x=3或5x+12y+21=0
【考点】圆的切线方程.
【分析】当过点(3,﹣3)的直线斜率不存在时,方程是x=3,通过验证圆心到直线的距离,得到x=3符合题意;当过点(3,﹣3)的直线斜率存在时,设直线方程为y+3=k(x﹣3),根据圆心到直线的距离等于半径2,建立关于k的方程,即可得出结论.
【解答】解:圆(x﹣1)2+y2=4的圆心为(1,0),半径为2.
(1)当过点(3,﹣3)的直线垂直于x轴时,此时直线斜率不存在,方程是x=3,
因为圆心到直线的距离为d=2=r,所以直线x=3符合题意;
(2)当过点(3,﹣3)的直线不垂直于x轴时,设直线方程为y+3=k(x﹣3),即kx﹣y﹣3k﹣3=0
∵直线是圆(x﹣1)2+y2=4的切线
∴圆心到直线的距离为d==2,解之得k=﹣,
此时直线方程为5x+12y+21=0.
综上所述,得切线方程为x=3或5x+12y+21=0.
故答案为x=3或5x+12y+21=0.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等知识点,考查学生的计算能力,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图所示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=2,C1H⊥平面AA1B1B,且C1H=.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;
(2)求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值;
(3)设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN⊥平面A1B1C1,求线段BM的长.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的性质.
【专题】空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用;立体几何.
【分析】方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.(Ⅰ)求出中的有关向量,然后求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;
(Ⅱ)利用求出平面AA1C1的法向量,通过求出平面A1B1C1的法向量,然后利用求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值;
(Ⅲ)设N为棱B1C1的中点,设M(a,b,0),利用MN⊥平面A1B1C1,结合求出a,b,然后求线段BM的长.
方法二:(I)说明∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角,通过解三角形C1A1B1,利用余弦定理,.
求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(II)连接AC1,过点A作AR⊥A1C1于点R,连接B1R,说明∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角.连接AB1,在△ARB1中,通过,
求出二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为.
(III)首先说明MN⊥A1B1.取HB1中点D,连接ND,由于N是棱B1C1中点,推出ND⊥A1B1.证明A1B1⊥平面MND,连接MD并延长交A1B1于点E,延长EM交AB于点F,
连接NE.连接BM,在Rt△BFM中,求出.
【解答】方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.
依题意得
(I)解:易得,
于是,
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(II)解:易知.
设平面AA1C1的法向量=(x,y,z),
则即
不妨令,可得,
同样地,设平面A1B1C1的法向量=(x,y,z),
则即不妨令,
可得.
于是,
从而.
所以二面角A﹣A1C1﹣B的正弦值为.
(III)解:由N为棱B1C1的中点,
得.设M(a,b,0),
则
由MN⊥平面A1B1C1,得
即
解得故.
因此,所以线段BM的长为.
方法二:
(I)解:由于AC∥A1C1,故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角.
因为C1H⊥平面AA1B1B,又H为正方形AA1B1B的中心,,
可得A1C1=B1C1=3.
因此.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(II)解:连接AC1,易知AC1=B1C1,
又由于AA1=B1A1,A1C1=A1C1,
所以△AC1A1≌△B1C1A1,过点A作AR⊥A1C1于点R,
连接B1R,于是B1R⊥A1C1,故∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角.
在Rt△A1RB1中,.
连接AB1,在△ARB1中, =,
从而.
所以二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为.
(III)解:因为MN⊥平面A1B1C1,所以MN⊥A1B1.
取HB1中点D,连接ND,由于N是棱B1C1中点,