天津市和平区2021届高三下学期第三次质量调查
数学试题
一、单选题（共9题；共45分）
1.已知集合 A={x∈R||x|≤2} ， B={x∈R|x<1} ，则 A∪B= （ ）.
A. (−∞,2] B. [−2,2] C. (1,2] D. [−2,1)
2.“直线 l 与平面 α 内无数条直线垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不必要也不充分条件
3.某市通过统计50个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为： [4,6) ， [6,8) ， [8,10) ， [10,12) ， [12,14) ， [14,16) ， [16,18) .为了鼓励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量不少于14吨的社区划定为试点社区，则这样的试点社区个数是（ ）.
A. 4 B. 10 C. 19 D. 40
4.意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 y=ex+e−x2 的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）
A. B.
C. D.
5.设 a=315 ， b=(15)3 ， c=log315 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ）.
A. b
0 ， b>0 ）的一个焦点，若双曲线实轴的一个端点、虚轴的一个端点与点F恰好是直角三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）.
A. 1+22 B. 1+52 C. 1+2 D. 1+5
8.已知函数 f(x)=(asinx+cosx)cosx−12 的图象的一条对称轴为 x=π6 ，则下列结论中正确的是（ ）.
A. (−7π12,0) 是 f(x) 图象的一个对称中心
B. f(x) 是最小正周期为 π 的奇函数
C. f(x) 在 [−π3,π3] 上单调递增
D. 先将函数 y=2sin2x 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 12 ，然后把所得函数图象再向左平移 π6 个单位长度，即可得到函数 f(x) 的图象
9.在 ΔABC 中， OA+OB+OC=0 ， AE=2EB ， |AB|=λ|AC| ，若 AB⋅AC=9AO⋅EC ，则实数 λ= ( )
A. 33 B. 32 C. 63 D. 62
二、填空题（共6题；共30分）
10.i是虚数单位，复数 z=(2+i)(1−2i) ，则z的共轭复数 z= ________.
11.(2x−1x)6 的展开式中常数项是________.
12.设 a∈R ，已知抛物线 y2=4x 的准线l与圆 C:x2+y2+2ax−23y=0 相切，则 a= ________.
13.若正实数x，y，z满足 x+3y+2z=1 ，则 x+2y2y+4z+4x+2y 的最小值是________.
14.已知函数 f(x)={|lnx|,x>0|x2+4x+3|,x≤0 ，若函数 g(x)=ax(a∈R) 使得方程 f(x)=g(x) 恰有3个不同根，则实数a的取值范围为________.
15.某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束.根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是 12 ，两人和棋的概率是 16 ，则乙战胜甲的概率是________；甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，则甲得分不少于2分的概率是________.
三、解答题（共5题；共75分）
16.已知 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 bsinA=2csinB ，且 b=3 ， cosB=14 .
（Ⅰ）求 a 的长；
（Ⅱ）求 tanC 的值；
（Ⅲ）求 tan(2B−C) 的值.
17.如图，在四棱锥 P−ABCD 中， PA⊥ 平面 ABCD ， AD⊥CD ， AD//BC ， PA=AD=CD=2 ， BC=3 ．过点 A 做四棱锥 P−ABCD 的截面 AEFG ，分别交 PD ， PC ， PB 于点 E,F,G ，已知 PG:PB=2:3 ， E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）求证： AG// 平面 PCD ；
（Ⅱ）求 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值．
18.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的离心率 e=32 ，且经过点 D(0,1) .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）已知点 A(−1,0) 和点 B(−4,0) ，过点 B 的动直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点（ M 在 N 左侧），试讨论 ∠BAM 与 ∠OAN 的大小关系，并说明理由.
19.已知 {an} 是各项都为整数的等比数列， {bn} 是等差数列， a1=b1=1 ， 5a2=2+2a1 ， a2=b2 .
（Ⅰ）求 {an} 和 {bn} 的通项公式；
（Ⅱ）设 k=1nak 表示数列 {an} 的前 n 项乘积，即 k=1nak=a1a2a3⋅⋅⋅an ， n∈N∗ .
（ⅰ）求 k=1nak ；
（ⅱ）若数列 {cn} 的前 n 项和为 Sn ，且 k=1nbk=cnn ，求证： cn+1n+1−Sn=1 .
20.已知函数 f(x)=xex−1−xlnx ．
（1）求函数 y=f(x) 在 x=1 处的切线方程；
（2）证明：（ⅰ） f(x)<2 ；
（ⅱ） n∈N∗ ， en−1<(2n−lnn)n ．
答案解析部分
一、单选题（共9题；共45分）
1.已知集合 A={x∈R||x|≤2} ， B={x∈R|x<1} ，则 A∪B= （ ）.
A. (−∞,2] B. [−2,2] C. (1,2] D. [−2,1)
【答案】 A
【考点】并集及其运算
【解析】【解答】由题意，集合 A={x|−2≤x≤2} ， B={x|x<1} ，
根据集合并集的运算，可得 A∪B={x|x≤2}=(−∞,2] 。
故答案为：A.
【分析】利用绝对值不等式求解集的方法求出集合A，再利用并集的运算法则求出集合A和集合B的并集。
2.“直线 l 与平面 α 内无数条直线垂直”是“直线 l 与平面 α 垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不必要也不充分条件
【答案】 B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】设命题 p ：直线 l 与平面 α 内无数条直线垂直，
命题 q ：直线 l 与平面 α 垂直，
则 p⇏q ，但 q⇒p ，所以 p 是 q 的必要不充分条件.
故答案为：B
【分析】根据充分必要条件的定义即可判断.
3.某市通过统计50个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为： [4,6) ， [6,8) ， [8,10) ， [10,12) ， [12,14) ， [14,16) ， [16,18) .为了鼓励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量不少于14吨的社区划定为试点社区，则这样的试点社区个数是（ ）.
A. 4 B. 10 C. 19 D. 40
【答案】 B
【考点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：日均垃圾量不少于14吨的组为 [14,16) 和 [16,18) ，频率和为 (0.06+0.04)×2=0.20 ，
则 50×0.20=10 个。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，从而求出日均垃圾量不少于14吨的组 [14,16) 和 [16,18) 的频率和，再利用频数等于频率乘以样本容量，从而求出 这样的试点社区个数 。
4.意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 y=ex+e−x2 的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）
A. B.
C.