2020—2021学年高三年级第三次质量检测
数学试题
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回,满分150分,考试用时120分钟.
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知复数满足(其中为虚数单位),则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出,结合共轭复数的概念可求出的值.
【详解】,,因此,.
故选:B.
【点睛】本题考查复数模的计算,同时也考查了共轭复数,考查计算能力,属于基础题.
2. 设,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简已知,再根据集合的关系判断得解.
【详解】因为,所以,设,
因为,所以,设,
因为是的真子集,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法,考查充分必要条件的判定,考查集合的关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3. 函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性定义可判断函数为偶函数, 排除选项,当时,可判断得出,,排除选项即可得解.
【详解】函数定义域为.
因为,
所以函数为偶函数,函数图象关于y轴对称,排除选项.
当时,,,,所以,排除选项.
故选:.
【点睛】本题考查函数图象的辨识,可以从奇偶性,单调性,函数值符号,特殊值等入手,通过排除法求解,难度较易.
4. 新冠肺炎疫情防控中,核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第天,每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时(单位:小时)大致服从的关系为(、为常数).已知第天检测过程平均耗时为小时,第天和第天检测过程平均耗时均为小时,那么可得到第天检测过程平均耗时大致为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意求得和的值,然后计算出的值即可得解.
【详解】由第天和第天检测过程平均耗时均为小时知,,
所以,得.
又由知,,所以当时,,
故选:C.
【点睛】本题考查分段函数模型的应用,求出和的值是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.
5. 已知函数,其中为实数,若对恒成立,且,则的单调递增区间是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由三角函数的最值得或,再由得,进而可得单调增区间.
【详解】因为对任意恒成立,所以,
则或,
当时,,则(舍去),
当时,,则,符合题意,
即,
令,解得,即的单调递增区间是;故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质,利用三角函数的性质确定解析式,属于中档题.
6. 已知两定点,,如果动点满足,点是圆上的动点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出动点轨迹方程(圆),再根据两圆位置关系确定的最大值取法,计算即可得结果.
【详解】设,因为,所以
因此最大值为两圆心距离加上两圆半径,即为
故选:B
【点睛】本题考查动点轨迹方程、根据两圆位置关系求最值,考查数形结合思想方法以及基本化简能力,属中档题.
7. 等差数列的前项和为,若,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:由等差数列的性质及求和公式得,,,故选C.
考点:1. 等差数列的性质;2.等差数列的求和公式.
8. 已知点是双曲线上一点,分别是双曲线C的左、右焦点,若以为直径的圆经过点A,则双曲线C的离心率为( )
A. B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据以为直径的圆经过点A,结合双曲线的定义可以求出a的值,最后求出离心率.
【详解】解析:由已知得,所以,所以,又,所以,所以双曲线的离心率.
故选:C
【点睛】本题考查了求双曲线离心率问题,考查了双曲线的定义,考查了数学运算能力.
二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)
9. 已知向量,,则下列命题正确的是( )
A. 若,则
B. 若在上的投影为,则向量与的夹角为
C. 存在,使得
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
若,则,故A错误;
若在上的投影为,且,则,故B正确;
若在上的投影为,且,故当,,故C正确;
, 的最大值为,故D正确.
【详解】若,则,则,故A错误;
若在上的投影为,且,则,,故B正确;
若,,若,则,即,故,,故C正确;
,因为,,则当时,的最大值为,故D正确,
故选:BCD.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用,考查数量积的运算律,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10. 已知是定义域为R的函数,满足,,当时,,则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为4
B. 的图像关于直线对称
C. 当时,函数的最大值为2
D. 当时,函数的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据周期的定义判断A;根据对称性判断B;根据二次函数的单调性以及对称性判断C;根据周期性以及单调性得出在上的单调性,即可判断D.
【详解】对于A,,,则,即的最小正周期为4,故A正确;
对于B,由知的图像关于直线对称,故B正确;
对于C,当时,在上单调递减,在上单调递增
根据对称性可知,函数在,上单调递减,在,上单调递增,则函数在上的最大值为,故C正确;
对于D,根据周期性以及单调性可知,函数在上单调递减,在上单调递增,则函数在上的最小值为,故D错误.
故选:ABC.
【点睛】本题主要考查了函数的对称性、周期性、利用单调性求最值,属于中档题.
11. 在中,已知,且,则( )
A. 、、成等比数列 B.
C. 若,则 D. 、、成等差数列
【答案】BC
【解析】
【分析】
首先根据已知条件化简得到,,再依次判断选项即可得到答案.
【详解】因为,
所以,即.
又因为,
所以,
即,.
对选项A,因为,所以、、成等比数列,故A错误.
对选项B,因为,,所以,
即,故B正确.
对选项C,若,则,,
则,
因为,所以.
故,故C正确.
对选项D,若、、成等差数列,则.
又因为,则.
因为,设,,,,
则,故D错误.
故选:BC
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,同时考查了三角函数的恒等变换,属于中档题.
12. 已知,,记,则( )
A. 最小值为 B. 当最小时,
C. 的最小值为 D. 当最小时
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据条件可将的最小值,转化为函数图象上的点到直线的距离的最小值的平方,结合两直线的位置关系和导数的几何意义,即可求解.
【详解】由和,
则的最小值,
可转化为函数图象上的点到直线的距离的最小值的平方,
又由,可得,
因为与直线平行的直线的斜率为,
所以,解得,则切点的坐标为,
所以到直线上的距离,
即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为,
所以的最小值为,
又过且与直线垂直的直线为,
即,
联立方程组,解得,
即当最小时,.
故选:AB
【点睛】本题主要考查了函数与方程综合应用,以及导数的几何意义的应用,其中解答中熟练应用导数的几何意义,合理转化求解是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应位置上)
13. 经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程为________
【答案】或
【解析】
【分析】
由题意:
假设截距不为0时,设出纵截距,利用截距的关系表示出横截距,再用截距式表示直线方程,将点A代入直线方程,即可求出参数值,将参数值待入直线方程再化简,即可求出方程;
当截距为0时,设相应的直线方程,代入点A坐标,求解即可.
【详解】当截距不为0时,设直线的纵截距为b,则横截距为,直线方程为:,将点A坐标代入直线方程,解得:,所以直线方程为:;
当截距为0时,设直线方程为:,代入点A,可得:,
直线方程为:.
【点睛】本题考查直线方程的截距式,以及截距式的限制条件,截距未知时,要考虑截距为0的情况,并加以讨论.当截距为0时,则不能用截距式求直线方程,要利用其它形式.
14. 函数的图象可由函数的图象至少向右平移 个单位长度得到.
【答案】
【解析】
试题分析:,故应至少向右平移个单位.
考点:1、三角恒等变换;2、图象的平移.
15. 的三个顶点都在抛物线E:上,其中A(2,8),的重心G是抛物线E的焦点,则BC所在直线的方程为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据重心坐标公式可得,,由此得到BC的中点坐标,再根据点差法得到BC的斜率,然后点斜式写出直线方程.
【详解】设 ,,由重心坐标公式,,又,
所以,,所以中点坐标为,
因为,,两式相减得,
所以直线的斜率为,
所以BC所在直线的方程为,即.
故答案为:
【点睛】方法总结:涉及中点弦或者斜率问题时考虑使用点差法,即设点作差.
16. 已知,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由可知,,,利用基本不等式即可求最值.
【详解】因为,所以,,
当且仅当 即,时等号成立,
故答案为:
【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
四、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 在条件①,②中任选一个,补充到下面问题中,并给出问题解答.
在中,角A,B,C的对边分别为,_________.求的面积.
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
若选①:由正弦定理及诱导公式、二倍角公式可转化条件为,再由余弦定理可得,由三角形面积公式即可得解;
若选②:由正弦定理及三角恒等变换可转化条件为,再由余弦定理可得,结合三角形面积公式即可得解.
【详解】若选①:
由正弦定理得,
因为,,所以
又因为,
所以,
因为,所以,
,所以,
又,,
所以
所以;
若选②:
由正弦定理得.
因为,所以,
化简得,
即,因,所以,
又因为,即,
所以,即,
所以.
【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是三角恒等变换结合正、余弦定理及三角形面积公式的应用.
18. 已知集合,
(1)求集合;
(2)若:,:,且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)在函数有意义条件下,解一元二次不等式、绝对值不等式即可.