长春市2021届高三质量监测（三) 文科数学试卷 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合，则 A. B. C. D. 2.已知复数为虚数单位），则复数的虚部是 A. B. C. D. 3.已知数列的前项和为，且，则的值为 A. B. C. D. 4.下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是 A. B. C. D. 5.已知向量满足，则 A. B. C. D. 6.设为两条直线，为两个平面，则下列说法正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若，则 D. 若，则 7.曲线在处的切线方程为 A. B. C. D. 8.右图是某多面体的三视图，其俯视图为等腰直角三角形，则该多面体各面中，最大面的面积为 A. B. C. D. 9.某同学掷骰子5次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为2.4的统计结果，则下列点数中一定不出现的是 A. B. C. D. 10.已知直线被圆截得弦长为，则的最大值为 A. B. C. D. 11.已知函数，若方程有且仅有两个不等实根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 12.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家.根据规划，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线（如图)，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二、填空题:本题共4小题，每小题5分. 13.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在终边上，则 . 14.根据事实……，写出一个含有量词的全称命题： . 15.已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为 . 16.△内角的对边分别为,,则角的值为 ；若，△的面积为，则边长的值为 . 三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.（本小题满分12分) 已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足. (Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ）设，求数列前项和为. 18.(本小题满分12分) 近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，特别在疫情期间，电子商务更被群众广泛认可，2020年双11期间，某平台的销售业绩高达3568亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务评价体系.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次. (Ⅰ)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关? (Ⅱ）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率. （，其中） 19.(本小题满分12分) 如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为4的等边三角形,且平面平面，点为线段中点，为中点,点为上的动点. (I)若平面，求线段的长; (II）在(I)条件下，求三棱锥与四棱锥的体积之比. 20.(本小题满分12分) 设函数 (Ⅰ)求的单调区间; (Ⅱ)设函数是增函数，求实数的值. 21.（本小题满分12分) 已知椭圆的右焦点为，、分别为椭圆的左顶点和上顶点，△的面积为. ( I )求椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点的直线与椭圆交于两点，直线、分别与直线交于点、． 证明：. (二）选考题:共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的 方程为(为参数)，曲线的极坐标方程为，曲线与相交于两点. (I)求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程; (Ⅱ）求点到两点的距离之和. 23.(本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 (I)求的解集; (II)在(Ⅰ)条件下，设，证明:不能都大于1. 长春市普通高中2021届高三质量监测（三）数学(文科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.【答案】D【解析】 2.【答案】A【解析】∴虚部为1. 3.【答案】B【解析】 4.【答案】C【解析】由三角函数图象及性质（周期、单调性）可得 5.【答案】C【解析】. 6.【答案】C【解析】对于A:可能异面；对于B：可能在面内；对于D：可能在面内。 7.【答案】B【解析】∴切线方程为。 8.【答案】B【解析】几何体直观图如图，四个面的面积分别为，故最大面积为。 9.【答案】D【解析】如果点数出现6，根据方差公式知，方差大于2.4，不符合题意。 10.【答案】D【解析】∵圆心到直线的距离 当且仅当时取等号 11.【答案】B【解析】画出函数的图象，如图可知 12.【答案】B【解析】设内层椭圆方程为，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆可设成，，设切线的方程为与联立得 由△=0，则，同理 所以所以。 13.【答案】0.6【解析】 14.【答案】【解析】对所有正整数，等式左边为正奇数和，等式右边为正整数平方。 15.【答案】【解析】焦点到渐近线的距离为b，则,所以 16.【答案】【解析】 即。， 16.【解析】（1）由可得，又因为各项均为正数，则可得 ∴；（6’） （2）由(1)知，因此（12’） 18.【解析】 （1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关． (6分) (Ⅱ)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次,令好评的交易为A,B,C，不满意的交易为a,b，从5次交易中，取出2次的所有取法为(A,B)、(A,C)、(A,a) 、(A,b)、(B,C)、(B,a)、(B,b)、(C,a)、(C,b)、(a,b)，共计10种情况，其中只有一次好评的情况是(A,a)、(A,b)、(B,a)、(B,b)、(C,a)、(C,b)，共计6种，因此，只有一次好评的概率为 .(12’) 19.【答案】（1）1；（2）【解析】 （1）PO∥平面CEF，POÌ平面APB,平面CEF∩平面APB=EF∴PO∥EF,即F为AB的四等分点，即AF=1.(6’) （11）在（1）条件下，。 三棱锥与四棱锥的体积之比为。 20.【解析】 (1)的定义域为，解，得，解，得且，故的单调增区间为，单调递减区间为.（4’） (11)，定义域为，， 若为增函数，则对任意恒成立， 若，则故在单调递减，在单调递增，不符合题意； 若，则在区间单调递增，在单调递减，在单调递增，不符合题意； 当时，，此时恒成立，符合题意。 综上所述，为所求（12’） 21.【解析】 （1）,解得，即椭圆C的标准方程为(4’) （11）已知点A(-2,0),设直线PQ的方程为，点.直线AP的方程为，直线AQ的方程为，将代入直线AP、AQ方程， 可得 已知右焦点的坐标为，则, 联立椭圆和直线PQ的方程，可得， 化简得，即， 代入上式化简得 因此 (12’) 22.【解析】（1）曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；（5’） （11）曲线的参数方程为为参数），将其代入到曲线的普通方程中，有 设分别为两点对应的参数，有，由直线参数的几何意义，到两点的距离之和为.(10’) 23.【解析】(1)原不等式等价于或，或， 解得或或，综上，原不等式解集为;（5’） (11)由（1）知，由基本不等式，， 所以 假设都大于1， 有这与矛盾. 所以不能都大于1. （10’） 10 / 10