专题20二次函数与对称变换综合问题 【例1】(2021秋•开化县月考)定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”． 例如：y＝(x﹣h)2﹣k的“镜像抛物线”为y＝﹣(x﹣h)2+k． (1)请写出抛物线y＝(x﹣2)2﹣4的顶点坐标 　(2，﹣4)　，及其“镜像抛物线”y＝﹣(x﹣2)2+4的顶点坐标 　(2，4)　．写出抛物线的“镜像抛物线”为 　　． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“镜像抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B'，C'，连接BC，CC'，B'C'，BB'． ①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值． ②求正方形BB'C'C所含(包括边界)整点个数．(说明：整点是横、纵坐标均为整数的点) 【分析】(1)根据定义直接求解即可； (2)①分别求出B(1，1﹣3a)，C(1，3a﹣1)，B'(3，1﹣3a)，C'(3，3a﹣1)，由正方形的性质可得BB'＝BC，即2＝6a﹣2，求出a即可； ②由①求出B(1，﹣1)，C(1，1)，B'(3，﹣1)，C'(3，1)，在此区域内找出所含的整数点即可． 【解答】解：(1)y＝(x﹣2)2﹣4的顶点坐标为(2，﹣4)，y＝﹣(x﹣2)2+4的顶点坐标为(2，4)， 的“镜像抛物线”为， 故答案为：(2，﹣4)，(2，4)，； (2)①∵y＝ax2﹣4ax+1＝a(x﹣2)2+1﹣4a， ∴抛物线L的“镜像抛物线”为y＝﹣a(x﹣2)2﹣1+4a， ∵点B的横坐标为1， ∴B(1，1﹣3a)，C(1，3a﹣1)， ∵抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴B'(3，1﹣3a)，C'(3，3a﹣1)， ∴BB'＝2，BC＝6a﹣2， ∵四边形BB'C'C为正方形， ∴2＝6a﹣2， ∴a＝； ②∵a＝， ∴B(1，﹣1)，C(1，1)，B'(3，﹣1)，C'(3，1)， ∴正方形BB'C'C所含(包括边界)整点有(1，﹣1)，(1，1)，(3，﹣1)，(3，1)，(1，0)，(3，0)，(2，﹣1)，(2，0)，(2，1)共9个． 【例2】(2022•巩义市模拟)已知，二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于C点，点A的坐标为(﹣1，0)，且 OB＝OC． (1)求二次函数的解析式； (2)当0≤x≤4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)根据OB＝OC可得B点的坐标为(3，0)，把A、B的坐标代入二次函数y＝ax2+bx﹣3，求出a、b的值即可； (2)求出二次函数的顶点坐标为(1，﹣4)，根据二次函数的性质即可得出答案； (3)先设出P的坐标，根据相似三角形的性质列出方程，解出方程即可得到点P的坐标． 【解答】解：(1)∵二次函数y＝ax2+bx﹣3 的图象与y轴交于C点， ∴C(0，﹣3)． ∵OB＝OC，点A在点B的左边， ∴B(3，0)． ∵点A的坐标为(﹣1，0)， 由题意可得， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； (2)∵二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4， ∴二次函数顶点坐标为(1，﹣4)， ∴当x＝1时，y最小值＝﹣4， ∵当0≤x≤1时，y随着x的增大而减小， ∴当x＝0时，y＝﹣3， ∵当1＜x≤4时，y随着x的增大而增大， ∴当x＝4时，y＝5． ∴当0≤x≤4时，函数的最大值为5，最小值为﹣4； (3)在y轴上存在点P，使△PCC'与△POB相似，理由如下： 设P(0，m)，如图， ∵点C'与点C关于该抛物线的对称轴直线x＝1对称，C(0，﹣3)． ∴C′(2，﹣3)． ∴CC'∥OB， ∵△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边， ∴， 即：， 解得：m＝﹣9或m＝﹣， ∴存在，P(0，﹣9)或P(0，﹣)． 【例3】(2022•济宁二模)如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，3)． (1)求抛物线的解析式； (2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线AC于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由． (3)图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA＝∠CBC'，求M点的横坐标． 【分析】(1)利用待定系数法求解析式即可；(2)存在直线l，证明△ACO≌△DBO(ASA)得到OA＝OD，求出A点坐标即可求出D点坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可； (3)连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H，求出tan∠MBA＝，进一步可求出N(0，)或N(0，﹣)分情况讨论，即可求出M的横坐标为﹣或﹣． 【解答】(1)解：抛物线y＝﹣x2+bx+c过B(3，0)，C(0.3)， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3； (2)解：存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似， 当l⊥AC时，以C，D，E为顶点的三角形与△ABE相似， ∴∠ACD＝∠EBO， 在Rt△ACO和Rt△DBO中， ， ∴ΔΑCO≌△DBO(ASA)， ∴OA＝OD， 解﹣x2+2x+3＝0， 得：x1＝3(不符合题意，舍去)，x2＝﹣1， ∴A(﹣1，0)， ∴D(0，1)， 设直线的解析式为：y＝kx+b， 将B(3，0)，D(0，1)代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为：y＝x+1； (3)解：连接BM，CC′，作C′H⊥BC交BC于H， ∵抛物线对称轴为直线：x＝＝1， ∴CC′＝2， ∵OB＝OC， ∴∠BCO＝45°， ∴∠C′CB＝45°， ∵C′H⊥BC，CC′＝2， ∴C′H＝CH＝， ∵OB＝OC＝3， ∴BC＝3， ∴BH＝， ∴tan∠CBC′＝， ∵∠MBA＝∠CBC′， ∴tan∠MBA＝， ∴ON＝， ∴N(0，)或N(0，﹣)， 当N(0，)，如图： ∵B(3，0)， ∴， ∴， ∴直线BN解析式为：y＝x+， 解方程﹣x2+2x+3＝﹣x+，得：(不符合题意，舍去)， ∴M的横坐标为﹣； 当N(0，﹣)，如图： ∵B(3，0)， ∴， ∴， ∴直线BN解析式为：y＝x﹣， 解方程﹣x2+2x+3＝x﹣， 得：(不符合题意，舍去)， ∴M的横坐标为﹣， 综上所述：M的横坐标为﹣或﹣． 【例4】(2022•合肥四模)已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A(﹣3，0)，B(1，0)． (1)求抛物线的表达式； (2)若两个抛物线的交点在x轴上，且顶点关于x轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线L1对称抛物线L2的解析式； (3)在(2)的条件下，点M是x轴上方的抛物线L2上一动点，过点M作MN⊥x轴于点N，设M的横坐标为m，记W＝MN﹣2ON，求W的最大值． 【分析】(1)将点A(﹣3，0)，B(1，0)代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解； (2)求出顶点的对称点为(﹣1，4)，设抛物线L2的解析式为y＝n(x+1)2+4，再将抛物线与x轴的交点为(﹣3，0)或(1，0)代入，即可求解析式； (3)由题意可知M(m，﹣m2﹣2m+3)，N(m，0)，则MN＝﹣m2﹣2m+3，ON＝|m|，分两种情况讨论；当﹣3＜x≤0时，W＝﹣m2+3，当m＝0时，W有最大值3；当0≤x＜1时，W＝﹣(m+2)2+7，当m＝0时，W有最大值3． 【解答】解：(1)将点A(﹣3，0)，B(1，0)代入y＝ax2+bx﹣3， ∴， 解得， ∴y＝x2+2x﹣3； (2)令y＝0，则x2+2x﹣3＝0， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴抛物线与x轴的交点为(﹣3，0)或(1，0)， ∵y＝x2+2x﹣3＝(x+1)2﹣4， ∴顶点为(﹣1，﹣4)， ∴顶点关于x轴的对称点为(﹣1，4)， 设抛物线L2的解析式为y＝n(x+1)2+4， ∵抛物线经过点(﹣3，0)或(1，0)， ∴n＝﹣1， ∴y＝﹣x2﹣2x+3； (3)∵点M是x轴上方的抛物线L2上一动点， ∴﹣3＜x＜1， ∵M的横坐标为m， ∴M(m，﹣m2﹣2m+3)，N(m，0)， ∴MN＝﹣m2﹣2m+3，ON＝|m|， 当﹣3＜x≤0时，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m+3+2m＝﹣m2+3， ∴当m＝0时，W有最大值3； 当0≤x＜1时，W＝MN﹣2ON＝﹣m2﹣2m+3﹣2m＝﹣m2﹣4m+3＝﹣(m+2)2+7， ∴当m＝0时，W有最大值3； 综上所述：W的最大值为3． 一．解答题(共20题) 1．(2022•广陵区二模)已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4(m为常数，且m＞0)． (1)求二次函数的顶点坐标； (2)设该二次函数图象上两点A(a，ya)、B(a+2，yb)，点A和点B间(含点A，B)的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h． ①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值； ②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 　0＜m≤4　． 【分析】(1)利用配方法求出顶点坐标即可． (2)①根据A，B关于抛物线的对称轴对称，求出a的值，在求出﹣3≤x≤﹣1时，二次函数的最大值，最小值，可得结论． ②分四种情形：当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，当﹣4＜a≤﹣3时，当﹣3＜a≤﹣2时，当a＞﹣2时，分别求出满足条件的m的取值范围，可得结论． 【解答】解：(1)y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4 ＝﹣m(x2+4x+4)+4 ＝﹣m(x+2)2+4， ∴二次函数的顶点坐标为(﹣2，4)． (2)①∵点A、B关于对称轴对称＝﹣2， ∴a＝﹣3， 当m＝1时，y＝﹣x2﹣4x﹣4+4＝﹣x2﹣4x， 则当x＝﹣3(或x＝﹣1)时，y最小值＝3， 当x＝﹣2时，y最大值＝4， ∴h＝1． ②结论：0＜m≤4，理由如下： 当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时， h＝yb﹣ya ＝﹣m(a+2+2)2+4﹣[﹣m(a+2)2+4] ＝﹣4m(a+3)， ∵h＝4， ∴4＝﹣4m(a+3)， ∴a＝﹣﹣3≤﹣4， ∵m＞0， 解得m≤1， 当﹣4＜a≤﹣3时， h＝4﹣ya ＝4﹣[﹣m(a+2)2+4] ＝m(a+2)2， ∴可得a＝﹣﹣2， ∴﹣4＜﹣﹣2≤﹣3， 解得1＜m≤4， 当﹣3＜a≤﹣2时， h＝4﹣yb ＝4﹣[﹣m(a+2+2)2+4] ＝m(a+4)2， 可得a＝﹣4， ∴﹣3＜﹣4≤﹣2， 不等式无解． 当a＞﹣2时， h＝ya﹣yb ＝﹣m(a+2)2+4﹣[﹣m(a+2+2)2+4] ＝4m(a+3)， 可得a＝﹣3， ∴﹣3＞﹣2， ∴m＜1， 综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤4． 故答案为：0＜m≤4． 2．(2022•绿园区二模)在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A(0，3)、B(2m，3)、C(m，m+3)．其中，m≠0． (1)当m＝1时． ①该二次函数的图象的对称轴是直线 　x＝1　． ②求该二次函数的表达式． (2)当|m|≤x≤|m|时，若该