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求阴影部分面积的常用方法: ①公式法:所求图形是规则图形,如扇形、特殊四边形等,可直接利用公式计算; ②和差法:所求图形是不规则图形,可通过转化成规则图形的面积的和或差; ③等积变换法:直接求面积较麻烦或根本求不出时,通过对图形的平移、旋转、割补等,为公式法或和差法创造条件. ④相似与同高不同底三角形结合法. 专题15 阴影部分面积处理技巧 1.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角的顶点在轴的正半轴上,已知点、、,将绕点顺时针旋转得到,则图中阴影部分图形的面积为___________. 【答案】 【分析】先判断出,根据勾股定理可得的长,根据绕点A顺时针旋转得到,可得图中阴影部分面积,再根据扇形面积公式即可求出结果. 【详解】解:∵,, ∴,, ∵, ∴. ∴, ∵绕点A顺时针旋转得到, ∴图中阴影部分面积 . 故答案为:. 【我思故我在】本题考查了扇形面积的计算,勾股定理,坐标与图形变化-旋转,熟记扇形的面积公式是解答此题的关键. 2.如图,在正方形ABCD中,AB=12.以点B为圆心,BA长为半径在正方形内部作,点E为上一点,连接BE分别以点B,E为圆心,大于的长为半径作弧,两弧交于点M,N,作直线MN,交于点F,交BE于点G,则图中阴影部分的周长为______. 【答案】 【分析】连接BF,EF,根据作法可得MN为BE的垂直平分线,从而得到△BEF为等边三角形,再求出弧EF的长,再根据阴影部分的周长为,即可求解. 【详解】解:如图,连接BF,EF, 根据题意得:BF=BE=AB=12, 根据作法得:MN为BE的垂直平分线, ∴BF=EF,BG=EG=6, ∴BE=BF=EF,, ∴△BEF为等边三角形, ∴∠EBF=60°, ∴弧EF的长为, ∴阴影部分的周长为. 故答案为: 【我思故我在】本题主要考查了求弧长,等边三角形的判定和性质,尺规作图,熟练掌握弧长公式,等边三角形的判定和性质,作已知线段的垂直平分线的作法是解题的关键. 3.如图,AB是半圆O的直径,且AB=10,点P为半圆上一点.将此半圆沿AP所在的直线折叠,若恰好弧AP过圆心O,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π) 【答案】 【分析】过点O作OD⊥BC于点D,交弧AP于点E,则可判断点O是弧AOP的中点,由折叠的性质可得OD=DE=R=,在Rt△OBD中求出∠OAD=30°,继而得出∠AOC,求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积. 【详解】解:过点O作OD⊥BC于点D,交弧AP于点E,连接OP, 则点E是弧AEP的中点,由折叠的性质可得点O为弧AOP的中点, ∴S弓形AO=S弓形PO, 在Rt△AOD中,OA=OB=R=5,OD=DE=R=, ∴∠OAD=30°, ∴∠BOP=60°, ∴S阴影=S扇形BOP==π. 故答案为:π. 【我思故我在】本题考查了扇形面积的计算,解答本题的关键是作出辅助线,判断点O是弧AOP的中点,将阴影部分的面积转化为扇形的面积. 4.如图1,是一枚残缺的古代钱币.图2是其几何示意图,正方形的边长是1cm,的直径为2cm,且正方形的中心和圆心重合,,分别是,的延长线与的交点,则钱币残缺部分(即图2中阴影部分)的面积是___________. 【答案】 【分析】根据圆的性质进行求解即可; 【详解】解:如图,延长正方形的四边得到圆O的内接正方形EFGH, ∴ ∵该圆直径为2,则半径为1 ∴S阴影= 故答案为: 【我思故我在】本题主要考查圆的性质,掌握圆的性质并正确求解是解题的关键. 5.如图,在中,,点为的中点,以点为圆心作圆心角为的扇形,点恰在弧上,则图中阴影部分的面积为___________. 【答案】 【分析】连接.根据题意和图形,可以发现阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积.又易证≌,即得出四边形的面积等于的面积,最后由扇形面积公式和三角形面积公式计算即可. 【详解】解:连接,如图, ,点为的中点,, , , , . 又, ≌, 四边形的面积等于的面积, . 故答案为:. 【我思故我在】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形的性质,三角形全等的判定和性质.解答本题的关键是明确题意,正确连接辅助线,并利用数形结合的思想解答. 6.如图,在△AOB中,∠AOB=90°,∠A=30°,OB=4,以点O为圆心,OB为半径画弧,分别交OA、AB于点C、D,则图中阴影部分的面积是_____(结果保留π) 【答案】 【分析】根据题意,首先证明根据计算即可. 【详解】解: OB=4, ∴△OBD是等边三角形 故答案为∶. 【我思故我在】本题主要考查了扇形的面积,等边三角形的判定和性质等知识,学会添加辅助线和数据公式是解题关键. 7.如图,在平行四边形中,对角线、相交于点,,是边的中点,、为上的点,连接和,若,,,则图中阴影部分的面积为_____. 【答案】120 【分析】连接先证明四边形是平行四边形,得到,根据EO∥BG,得到,从而得到,由此求解即可. 【详解】解:如图所示,连接 ∵平行四边形中,对角线、相交于点, ∴是边的中点, 又∵是边的中点, ∴是的中位线, ∴EO∥BG,. 又∵, ∴, ∴四边形是平行四边形. ∴, 又∵EO∥BG, ∴, ∴. ∴. ∵, ∴等腰中边上的高为, ∴. ∵是边的中点, ∴. ∴阴影部分的面积为120. 故答案为:120. 【我思故我在】本题考查了平行四边形的性质与判定、三角形的中线有关面积计算、不规则图形面积的计算,熟知上述图形的判定与性质是解题的基础,将不规则图形拆分成规则图形是解题的关键. 8.如图,在矩形ABCD中,AD=2,DC=4,将线段DC绕点D按逆时针方向旋转,当点C的对应点E恰好落在边AB上时,图中阴影部分的面积是_____. 【答案】24﹣64π 【分析】由旋转的性质可得DE=DC=4,由锐角三角函数可求∠ADE=60°,由勾股定理可求AE的长,分别求出扇形EDC和四边形DCBE的面积,即可求解. 【详解】解:∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转, ∴DE=DC=4, ∵cos∠ADE, ∴∠ADE=60°, ∴∠EDC=30°, ∴S扇形EDC4π, ∵AE6, ∴BE=AB﹣AE=46, ∴S四边形DCBE24﹣6, ∴阴影部分的面积=24﹣64π, 故答案为:24﹣64π. 【我思故我在】本题考查了旋转的性质,锐角三角函数,矩形的性质,扇形的面积公式等知识,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键. 9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC中点,分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH,连接FD,HD.若BC=6,则阴影部分的面积是______. 【答案】9 【分析】分别取AB、AC的中点N、M,连接DN、DM,则可得,,又,分别表示出△AFD和△AHD的面积,即可求得答案. 【详解】解:如图,分别取AB、AC的中点N、M,连接DN、DM, ∵D是BC中点, ∴DN∥AC,且, DM∥AB,且, ∵∠BAC=90°, ∴DN⊥AB ,DM⊥AC, 在正方形ABEF和正方形ACGH中,AF=AB,AH=AC, ∴ , , 又∵在Rt△ABC中, ∴. 故答案为9 【我思故我在】本题考查阴影部分面积的求法,准确作出辅助线,列出面积计算公式进行转化是解题的关键. 10.如图,在OBC中,∠COB=90°,∠B=60°,CO=4,以OB为半径的半圆O交斜边BC于点D,则阴影部分面积为_____(结果保留π). 【答案】+4 【分析】连接OD,首先证得△BOD是等边三角形,然后解直角三角形求得OB,再利用扇形面积求法以及等边三角形面积求法得出答案. 【详解】解:连接OD, ∵OB=OD,∠B=60°, ∴△BOD是等边三角形, ∴∠BOD=60°, ∴∠COD=90°﹣60°=30°, 在△OBC中,∠COB=90°,∠B=60°,CO=4, ∴OB=OC=×4=4, ∴S阴影=S扇形DOE+S△BOD, = =+4, 故答案为:+4. 【我思故我在】此题主要考查了解直角三角形、扇形面积求法以及等边三角形的性质,熟记扇形的面积公式是解答此题的关键. 11.如图,在中,,,,将绕点顺时针旋转,点的对应点落在边上,交于点,则图中阴影部分的面积为______. 【答案】 【分析】根据旋转的性质,可得,,再由勾股定理可得,再证得为等边三角形,可得,,进而得到,,再根据阴影部分的面积等于,即可求解. 【详解】解:根据题意得:,, 在中,,,, ∴AB=2BC=4,, ∴, , ∴为等边三角形, ∴,, ∴, ∴, ∴,, ∴, ∴阴影部分的面积等于. 故答案为: 【我思故我在】本题主要考查了求扇形面积,勾股定理,等边三角形的判定和性质等知识,根据题意得到阴影部分的面积等于是解题的关键. 12.如图,在中,,点是的中点.以为直径的交于点,连接.若是的切线,,,则阴影部分的面积是______. 【答案】 【分析】连接OE,由图形可知:S阴影=S四边形OBED-S扇形OBD,通过圆的性质可以分别求出四边形OBED和扇形OBD的面积,即可求解. 【详解】解:如图,连接OE, ∵O是AB的中点, ∴OB=AB=2, 在Rt△ABC中,BC=AB•tanA=, ∵E是BC的中点, ∴BE=BC=,S△OBE=×OB•BE=, ∵DE是⊙O的切线, ∴∠ODE=∠OBE=90°, ∵OB=OD,OE=OE, ∴Rt△OBE≌Rt△ODE(HL), ∴S△ODE=S△OBE=, ∴S四边形OBED=, ∵∠A=60°, ∴∠BOD=120°, ∴S扇形OBD=, ∴S阴影=S四边形OBED-S扇形OBD=. 【我思故我在】本题主要考查了圆的综合性质,切线的性质,扇形的面积等知识,熟练掌握圆的综合性质,将不规则的阴影面积用规则面积表达出来是解决本题的关键. 13.如图,在扇形OAB中,∠AOB=105°,半径OA=6,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在弧AB上的点D处,折痕交OA于点C,则阴影部分的面积为_________. 【答案】-9 【分析】连接OD,交BC于E,根据对折得出BC⊥OD,DE=OE=3,∠DBE=∠OBE,OB=BD=6,求出△DOB是等边三角形,根据等边三角形的性质得出∠DOB=∠DBO=60°,求出∠COD=∠AOB-∠DOB=45°,求出CE=OE=3,再分别求出扇形AOD和△COD的面积即可. 【详解】解:连接OD,交BC于E, ∵沿BC对折O和D重合,OD=6, ∴BC⊥OD,DE=OE=3,∠DBE=∠OBE,OB=BD=6, ∴∠BEO=90°,△DOB是等边三角形, ∴∠DOB=∠DBO=60°, ∵∠AOB=105°, ∴∠COD=∠AOB-∠DOB=45°, ∵∠OEC=90°, ∴CE=OE=3, ∴阴影部分的面积 =S扇形AOD-S△COD = =π-9, 故答案为:π-9. 【我思故我在】本题考查了等边三角形的性质和判定,直角三角形的性质,扇形的面积计算等知识点,能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键. 14.如图,点O是半圆圆心,BE是半圆的直径,点A,D在半圆上,且AD∥BO,∠ABO=60°,AB=4,过点D作DC⊥BE于点C,则阴影部分的面积是 _____. 【答案
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