福建省泉州市百崎民族中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（  ） A. 128 B. 64 C. 32 D. 6 参考答案： D 【分析】 根据变化规律，从结果开始逆推，依次确定每一项可能的取值，最终得到结果. 【详解】根据规律从结果逆推，若第项为，则第项一定是 则第项一定是；第项可能是或 若第项是，则第项是；若第项是，则第项是 若第项，则第项是；若第项是，则第项是或 若第项是，则第项是或；若第项是，则第项是；若第项是，则第项是 若第项是，则第项是；若第项是，则第项是；若第项是，则第项是或；若第项是，则第项是或 的取值集合为：，共个 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据数列的规律求解数列中的项，关键是能够明确规律的本质，采用逆推法来进行求解. 2. 已知直角三角形的两直角边长的和为4，则此直角三角形的面积满足(     ) A．最大值2 B．最大值4 C．最小值2 D．最小值4 参考答案： A 考点：基本不等式在最值问题中的应用． 专题：不等式的解法及应用． 分析：设直角三角形的两直角边长为a，b，则a+b=4，运用基本不等式可得三角形的面积的最大值． 解答： 解：设直角三角形的两直角边长为a，b， 则a+b=4， 直角三角形的面积S=ab≤?（）2 =?4=2， 当且仅当a=b=2，取得最大值，且为2． 故选：A． 点评：本题考查基本不等式的运用：求最值，考查直角三角形的面积公式及最值的求法，属于中档题． 3. 如图，在棱长为2的正方体 中，O是  底面ABCD的中心，E、F分别是 、AD的中点，  那么异面直线OE和 所成角的余弦值等于   (A)             (B)．   (C)                (D) 参考答案： B 4. 已知顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求抛物线的方程. 参考答案： 解：依题意可设抛物线方程为：（a可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB； 则可设A（x1,y1）、B（x2,y2）联立    得 即    得：a=12或-4（6分） 所以抛物线方程为或 5. 椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为---                                                     （     ） A．       B． C．    D． 参考答案： C 6. 原点和点在直线的两侧，则的取值范围是（    ） A．  B．  C．  D． 参考答案： C 7. 已知双曲线上一点到它的右焦点的距离为8，那么点到它的右准线的距离是（     ） A．10   B． C． D．   参考答案： D 略 8. 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(　　) ①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论 A．①②　　　     B．①②④   C．①②③          D．②③ 参考答案： C 略 9. 等比数列{an}的各项均为正数，且，则（    ） A．60    B．50          C．40     D．20+log2 5       参考答案： B 10. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（　　） A．y=lnx B．y=|x| C．y=﹣x3 D．y=ex+e﹣x 参考答案： A 【考点】函数奇偶性的判断． 【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】根据奇偶函数的定义，可得结论． 【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得B，D为偶函数，C为奇函数，A既不是奇函数也不是偶函数． 故选：A． 【点评】本题考查奇偶函数的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对于曲线∶=1，给出下面四个命题： （1）曲线不可能表示椭圆； （2）若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜＜； （3） 若曲线表示双曲线，则＜1或＞4； （4）当1＜＜4时曲线表示椭圆，其中正确的是 （    ） A .(2)(3)       B. (1)(3)         C. (2)(4)           D.(3)(4)] 参考答案： A 12. __________． 参考答案： 表示以原点为圆心，以为半径的圆的面积的四分之一， ∴， ∴， ． 13. 写出命题P：的否定 参考答案： 14. （理科学生做）已知展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为      ．   参考答案： 15. 已知函数在上单调递增，若恒成立，则实数m的取值范围为___. 参考答案： 【分析】 根据单调区间求出的取值范围，由于恒成立，即求，从而得出的取值范围. 【详解】解： 当时，， 由函数在上是增函数得 ， 则， 又， 故取得，， 所以， 因为，根据函数的图像可得， 所以， . 【点睛】本题考查了三角函数的单调性、不等式恒成立等问题，解决的关键是要能将恒成立问题要转化为函数的最值问题来进行求解. 16. 双曲线的离心率大于的充分必要条件是         ． 参考答案： m>1  17. 某单位将4名新来的员工小张、小王、小李、小刘分配到营销、财务、保管三个部门中，每个部门至少安排1名员工，其中小张不能分配到营销部门，那么不同的分配方案有______． 参考答案： 24 【分析】 分析小张有2种方法，再分两种情况讨论其他三名员工，①三个部门每部门一人，②小王、小李、小刘中一个部门1人，另一个部门2人，分别求出情况种数，从而可得答案. 【详解】小张不能分配到营销部门，则小张可以放在财务、保管部门，有A21种方法， 另外三个员工有2种情况， ①三人中，有1个人与小张分配一个部门，即小王、小李、小刘每人一个部门，有A33种， ②三人中，没有人与小张分配一个部门，这三人都被分配到小张没有分配的另外2个部门， 则这三人中一个部门1人，另一个部门2人，有C32A22种情况， 则另外三名员工有A33+C32A22种安排方法， ∴不同的分配方案有A21（A33+C32A22）＝24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查排列组合的简单应用， 一般思路，按照先分组，再分配的原则求解即可. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知a，b，c均为实数，且a=x2﹣2y+，b=y2﹣2z+，c=z2﹣2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0． 参考答案： 考点：反证法与放缩法． 专题：证明题． 分析：用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证． 解答： 解：反证法：假设a，b，c都小于或等于0，则有a+b+c=（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2+π﹣3≤0， 而该式显然大于0，矛盾，故假设不正确，故a，b，c中至少有一个大于0． 点评：本题考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点． 19. (本小题满分10分)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，O为正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E为PC中点. 求证：（1）PA//面BDE； （2）平面PAC⊥平面BDE   参考答案： （1）证明：连结EO    ∵EO为△PAC中位线 ∴EO//PA   又∵PA面BDE，EO面BDE ∴ PA//面BDE     …………………………………………5分 （2）底面ABCD为正方形，∴BDAC 又∵PO面ABCD，BD面ABCD ∴BDPO ∴ BD面PAC    BD面BDE ∴面PAC面BDE …………………………………………10分   20. （本小题满分14分） 已知数列，中，对任何正整数都有：  ． （1）若数列是首项为和公比为的等比数列，求数列、的通项公式； （2）若数列是首项为，公差为等差数列（），求数列通项公式； （3）在（2）的条件下，判断数列是否为等比数列？并说明理由. 参考答案： （本小题满分14分） 已知数列，中，对任何正整数都有：  ． （1）若数列是首项为和公比为的等比数列，求数列、的通项公式； （2）若数列是首项为，公差为等差数列（），求数列通项公式； （3）在（2）的条件下，判断数列是否为等比数列？并说明理由. 解（1）依题意，数列的通项公式为，          ……… 2分 由， 可得， 两式相减可得，即.                       ……… 5分 当，从而对一切，都有.             ……… 6分 所以数列的通项公式是.                             ……… 7分 （2）法1：设等差数列的首项为，公差为，则.  …… 8分 由（1）得，                                  …………11分                                             要使是一个与无关的常数，当且仅当     ………12分  即：当等差数列的满足时， 数列是等比数列，其通项公式是；…… 13分   当等差数列的满足时，数列不是等比数列．   ……… 14分 法2：设等差数列的首项为，公差为，则.   …… 8分 由（1）得，，即, 若数列是等比数列，则       ………11分 要使上述比值是一个与无关的常数，须且只需.    ………12分 即：当等差数列的满足时， 数列是等比数列，其通项公式是，…… 13分 当等差数列的满足时，数列不是等比数列．     …………… 14分 略 21. （12） 点P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且,求三角形的面积。 参考答案： （12）根据题意得  椭圆的长轴长为6，焦距为  所以----------------6 根据上式可得------------------------------8 所以三角形的面积为.-------12 略 22. 某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示． 组号 分组 频数 频率 第1组 [160，165） 5 0.050 第2组 [165，170） ① 0.350 第3组 [170，175） 30 ② 第4组 [175，180） 20 0.200 第5组 [180，185） 10 0.100 合计 100 1.00 （1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学