江苏省泰州市大冯初级中学高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数的图象为C，为了得到函数的图象只需把C上所有的点 A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 参考答案： C 2. 如图所示的程序框图，若f（x）=logπx，g（x）=lnx，输入x=2016，则输出的h（x）=（　　） A．2016 B．2017 C．logπ2016 D．ln2016 参考答案： C 【考点】EF：程序框图． 【分析】根据程序框图求出h（x）的解析式即可． 【解答】解：x=2016时，f（x）=logπ2016＜g（x）=ln2016， 故h（x）=f（x）， 故选：C． 【点评】本题考查了程序框图，考查对数函数的性质，是一道基础题． 3. 3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（    ） （A）43种   （B）4×3×2种    （C）34种    （D）  1×2×3种 参考答案： C  4. 在一球内有一边长为1的内接正方体, 一动点在球内运动, 则此点落在正方体内部的概率为（  ） A.          B.             C.            D. 参考答案： D 5. 已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝(　　) A．2　　　　    B．8　　　　C．18　　　　   D．20 　. 参考答案： C D(3X＋2)＝9D(X)＝18 6. 把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，则所得图象对应的函数解析式是（　　） A．y=sinx B．y=sin4x C． D． 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】根据三角函数图象变换的法则进行变换，并化简，可得两次变换后所得到的图象对应函数解析式． 【解答】解：函数的图象向右平移个单位，得到f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x的图象， 再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得f（x﹣）=sinx的图象． ∴函数y=sinx的图象是函数的图象按题中的两步变换得到的函数的解析式． 故选：A． 【点评】本题给出三角函数图象的平移和伸缩变换，求得到的图象对应的函数解析式．着重考查了三角函数图象的变换公式等知识，属于中档题． 7. 已知直线和不重合的两个平面，，且，有下面四个命题：   ①若∥，则∥；    ②若∥，则∥；   ③若，则；    ④若，则   其中真命题的序号是   A．①②    B．②③    C．②③④ D．①④ 参考答案： B 略 8. 某程序框图如下面右图所示，若输出的S=57，则判断框内位应填（   ）     A． k＞4     B. k＞5     C. k＞6       D. k＞7  参考答案： A 略 9. 右图程序运行的结果是                             （   ） A.515    B.23    C.21    D.19 参考答案： C 10. △ABC中，，，则△ABC一定是                   （     ） A . 锐角三角形   B. 钝角三角形  C.  等腰三角形   D.  等边三角形 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对不同的且,函数必过一个定点A,则点A的坐标是_____. 参考答案： (2,4) 【分析】 根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求出函数f（x）必过的定点坐标． 【详解】根据指数函数的图象恒过定点（0，1）,令4﹣2x＝0，x＝2，∴f（2）＝+3＝4， ∴点A的坐标是（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，属于基础题． 12. 若y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，则a=　   　，b=　   　． 参考答案： ﹣，﹣ 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】函数的极值点处的导数值为0，列出方程，求出a，b的值． 【解答】解：f′（x）=+2bx+1， 由已知得： ?， ∴a=﹣，b=﹣， 故答案为：﹣，﹣． 【点评】本题考查了导数的应用，考查函数极值的意义，是一道基础题． 　 13. 将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2   3 4   5   6 7   8   9  10 ． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的规律，第 行（）从左向右的第3个数为                 ． 参考答案： 14. 一个袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地任取两次，每次取一球，在第一次取到的是白球的条件下，第二次也取到白球的概率是  参考答案： 15. 设是等差数列的前项和，若，则             . 参考答案： 16. 直线y=k（x﹣1）+4必过定点，该定点坐标是　　． 参考答案： （1，4） 【考点】过两条直线交点的直线系方程． 【专题】转化思想；综合法；直线与圆． 【分析】令参数k的系数x﹣1=0，求得x和y的值，可得直线y=k（x﹣1）+4必过定点的坐标． 【解答】解：令参数k的系数x﹣1=0，求得x=1，y=4，可得直线y=k（x﹣1）+4必过定点（1，4）， 故答案为：（1，4）． 【点评】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题． 17. 在下列命题中， ①命题“若a、b是素数,则a+b是偶数”； ②命题“若，则的否命题； ③命题“若，”的逆否命题； ④命题“若a>b，则”的逆命题． 真命题的序号是                             ． 参考答案：  ③④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q． （1）求椭圆的方程； （2）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长； （3）当点P异于点B时，求证：?为定值． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的方程． （2）椭圆的右焦点为（，0），直线l的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程化简，得，由此能求出|CD|． （3）当直线l与x轴垂直时，与题意不符．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+，（k≠0，且k≠），代入椭圆方程，化简得（2k2+1）x2+4=0，求出D（），从而得到kBD，进而求出直线BD的方程，再由直线AC的方程联立，求出Q（﹣2，2k+），由l方程得P（﹣，0），由此能证明?为定值． 【解答】解：（1）∵过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为， ∴，解得a=2，b=，c=， ∴椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点为（，0）， 此时直线l的方程为y=﹣x+， 代入椭圆方程化简，得， 解得， 代入直线l的方程，得，y2=﹣， ∴|CD|==． 证明：（3）当直线l与x轴垂直时， ∵椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），∴AC∥BD，与题意不符． 设直线l的方程为y=kx+，（k≠0，且k≠）， 代入椭圆方程，化简得（2k2+1）x2+4=0， 解得， 代入直线l的方程，得，， ∴D（）， ∴kBD=== ==， ∴直线BD的方程为y=（x+2）， 又直线AC的方程为， 联立，得，∴Q（﹣2，2k+）， 又由l方程得P（﹣，0）， ∴=（﹣）?（﹣2，2k+）=4 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，且椭圆的短轴长为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线，过右焦点F2，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D. ①求的值； ②设AB的中点M，CD的中点为N，求面积的最大值. 参考答案： （1）；（2）①；②. 【分析】 ； （1）由椭圆短轴长为2，得b=1，再由离心率结合计算即可得到椭圆的方程;（2）① 由直线过右焦点，设出直线AB方程，将AB方程与椭圆方程联立，写出韦达定理计算弦长AB, 由两直线斜率乘积为，将弦长AB中的斜率变为可得弦长CD,相加即得结果;②由中点坐标公式可得点M,N坐标，观察坐标知MN中点T在x轴上，所以，整理后利用基本不等式即可得面积的最值. 【详解】（1） 由题设知： 解得 故椭圆的标准方程为. （2）①设的直线方程为， 联立消元并整理得， 所以，， 于是， 同理， 于是. ②由①知，，，， 所以，， 所以的中点为， 于是， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】圆锥曲线中求最值或范围时，一般先根据条件建立目标函数，再求这个函数的最值．解题时可从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解题的关键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 20. 设函数. （1）若求的极小值； （2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得同时成立？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由． （3）设有两个零点x1和x2，若，试探究值的符号． 参考答案： 21. 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝. (1) 求a1，a2，a3； (2) 由(1)猜想数列{an}的通项公式； (3) 求Sn. 参考答案： （1）a1＝1；a2＝－1，a3＝－（2）an＝－（3） (1) 当n＝1时，S1＝，即a21－1＝0，解得a1＝±1.∵ a1>0，∴ a1＝1； 当n＝2时，S2＝，即＋2a2－1＝0. ∵ a2>0, ∴ a2＝－1.同理可得，a3＝－. (2) 由(1)猜想an＝－. (3) Sn＝1＋(－1)＋(－)＋…＋(－)＝. 22. 设函数. （I）求函数的最小值； （Ⅱ）若，且，求证：； （Ⅲ）若，且， 求证：.K*s#5u 参考答案： 21.解：（I）， …………………1分 令，得，所以在递减，在递增. …………………2分 所以.…………………3分 （Ⅱ） …………………5分 由（I）知当时，，又，， ∴∴.……………7分   （Ⅲ）用数学归纳法证明如下：1°当时，由（Ⅱ）可知，不等式成立；K*s#5u 2°假设()时不等式成立， 即若，且时， 不等式成立…………………8分 现需证当()时不等式也成立， 即证：若，且时，不等式 成立. ……………9分 证明如下：设， 则 ① 同理      .② 由①+②得： 又由（Ⅱ）令，则，其中， 则有 ∴∴     ∴当时，原不等式也成立. K*s#5u 综上，由1°和2°可知，对任意的原不等式均成立.