福建省龙岩市南安第二中学2022年高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知PA,PB,PC是从P引出的三条射线,每两条的夹角都是60o,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 正三棱柱ABC-A1B1C1中,若,则AB1与C1B所成角的大小是( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
3. 已知椭圆的离心率为过右焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点,若,则( )
. . . .
参考答案:
B
略
4. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 如图所示,一个空间几何体的正视图和侧图都是边长为的等边三角形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为
参考答案:
B
该几何体是底面直径和母线都为的圆锥,其高为,体积为,故选.
6. 在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
参考答案:
A
【分析】
先根据约束条件画出可行域,然后求对应三角形的面积。
【详解】如图:作出可行域:
则不等式组表示的平面区域面积为
故选:A
【点睛】本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组。
7. 已知在数轴上0和3之间任取一实数x,则使“log2x<1”的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】几何概型.
【分析】以长度为测度,根据几何概型的概率公式即可得到结论.
【解答】解:由log2x<1,得0<x<2,区间长为2,
区间[0,3]长度为3,
所以所求概率为.
故选:A.
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算,根据对数的性质是解决本题的关键.
8. 一动圆与圆O:x2+y2=1外切,与圆C:x2+y2-6x+8=0内切,那么动圆的圆心的轨迹是
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线
参考答案:
C
略
9. 已知命题,则是
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. 已知双曲线的离心率为,且抛物线的焦点为,则的值为
(A) (B) (C)2 (D)4
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图是甲,乙两名同学次综合测评成绩的茎叶图,则乙的成绩的中位数是 ,甲乙两人中成绩较为稳定的是 .
参考答案:
87;甲。
12. 我们在学习立体几何推导球的体积公式时,用到了祖日恒原理:即两个等高的几何体,被等高的截面所截,若所截得的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.类比此方法:求双曲线(a>0,b>0),与x轴,直线y=h(h>0)及渐近线所围成的阴影部分(如图)绕y轴旋转一周所得的几何体的体积 .
参考答案:
a2hπ
【考点】类比推理.
【分析】确定AC2﹣BC2=a2,由祖暅原理知,此旋转体的体积,等价于一个半径为a,高为h的柱体的体积.
【解答】解:y=m,是一个圆环其面积
S=π(AC2﹣BC2)
∵?,
同理
∴AC2﹣BC2=a2,由祖暅原理知,此旋转体的体积,等价于一个半径为a,高为h的柱体的体积为a2hπ.
故答案为:a2hπ.
13. 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为,若,,则数列{an}的通项公式为 .
参考答案:
由,得a1=S1=1,
由,
得4=(+)2,
又an>0,
∴2Sn=+,即Sn=an+1,
当n≥2时,=an,
两式作差得:an=an+1?an,即=2,
又由S1=1, ,求得a2=1,
∴当n≥2时,an=.
验证n=1时不成立,
∴,
14. 直线关于直线对称的直线方程为______ __.
参考答案:
15. 一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰梯形,其下底在轴上,在轴上,底角为,腰和上底均为1,则此平面图形的实际面积是_____.
参考答案:
16. “若,则”是 。(填“真命题”或“假命题”)
参考答案:
假命题
略
17. (概率)抛掷一枚均匀的正方体骰子,点数为3的倍数的概率为 .
参考答案:
1/3
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)(Ⅰ)一动圆与圆相外切,与圆相内切求动圆圆心的轨迹曲线E的方程,并说明它是什么曲线。
(Ⅱ)过点作一直线与曲线E交与A,B两点,若,求此时直线的方程。
参考答案:
19. 某高中尝试进行课堂改革.现高一有A,B两个成绩相当的班级,其中A班级参与改革,B班级没有参与改革.经过一段时间,对学生学习效果进行检测,规定进步超过10分的为进步明显,得到如下列联表.
进步明显
进步不明显
合计
A班级
15
30
45
B班级
10
45
55
合计
25
75
100
(1)是否有95%的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关?
(2)按照分层抽样的方式从A,B班中进步明显的学生中抽取5人做进一步调查,然后从5人中抽2人进行座谈,求这2人来自不同班级的概率.
附:(其中).
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考答案:
(1)没有95%的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关.(2)
【分析】
(1)计算出的观测值,并根据临界值表找出犯错误的概率,即可对题中的结论进行判断;
(2)先计算出班有人,分别记为、、,班有人,分别记为、,列举出所有的基本事件,确定基本事件的总数,并确定事件“其中人来自于不同班级”所包含的基本事件数,再利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率。
【详解】(1)的观测值
,
所以没有95%的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关;
(2)按照分层抽样,班有3人,记为,班有2人,记为,则从这5人中抽2人的方法有,共10种.
其中2人来自于不同班级的情况有6种,所以所求概率是
【点睛】本题第(1)问考查独立性检验,要理解临界值表的含义,第(2)问考查古典概型概率的计算,关键要列举出基本事件,考查运算求解能力,属于中等题。
20. 证明:不等式(m≥2)
参考答案:
【考点】不等式的证明.
【专题】计算题;规律型;转化思想;推理和证明.
【分析】移项将不等式化为<,利用分析法证明即可.
【解答】证明:要证不等式(m≥2)成立,
需证<,
需证()2<()2,
即证<
需证(m+1)(m﹣2)<m2﹣m,
需证m2﹣m﹣1<m2﹣m,
只需证﹣1<0
因为﹣1<0显然成立,
所以原命题成立.
【点评】本题考查的知识点是不等式的证明,考查的知识点是分析法证明.
21.
参考答案:
22. (本小题满分16分) (文)
⑴证明:当a>1时,不等式成立.
⑵要使上述不等式成立,能否将条件“a>1”适当放宽?若能,请放宽条件并说明理由;若不能,也请说明理由.
⑶请你根据⑴、⑵的证明,试写出一个类似的更为一般的结论,并给予证明.
参考答案:
(1)证:∵,……………………………3分
∵a>1,∴>0,
∴原不等式成立 ………………………………………5分
(2)∵a-1与a5-1同号对任何a>0且a11恒成立,……………………………………7分
∴上述不等式的条件可放宽为a>0且a11 ………………………………………8分
(3)根据(1)(2)的证明,可推知:
结论1:
若a>0且a11,n为正整数(或n>0),则 ……………10分
证: ∵ ………………………11分
∵a-1与a2n-1同号对任何a>0且a11恒成立
∴(a-1)(a2n-1)>0
∴ ………………………12分
结论2:
若a>0且a11,m>n>0,则 …………………………………11分
证:左式-右式=………14分
若a>1,则由m>n>0Tam-n>0,am+n>0T不等式成立;
若0<a<1,则由m>n>0T0<am-n<1, 0<am+n<1T不等式成立
∴ …………………16分
【题文】(理) 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、dR),且函数f(x)的图象关于原点对称,其图象x=3处的切线方程为8x-y-18=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在区间,使得函数f(x)的定义域和值域均为?若存在,求出这样的一个区间;若不存在,则说明理由;
(3)若数列{an}满足:a1≥1,an+1≥,试比较+++…+与1的大小关系,并说明理由.
【答案】(理) (1)∵f(x)的图像关于原点对称,
∴f(-x)+f(x)=0恒成立, 即2bx2+2d≡0,∴b=d=0……………………2分
又f(x)的图像在x=3处的切线方程为8x-y-18=0,即 y-6=8(x-3),
∴f '(3)=8,且f(3)=6, 而f(x)=ax3+cx,∴f '(x)=3ax2+c
……………………4分
解得 故所求的解析式为f(x)=x3-x ……………5分
(2)解 ,得x=0或x=± ……………………6分
又f '(x)=x2-1,由f '(x)=0得x=±1,
且当x∈[-,-1]或x∈[1,]时,f '(x)>0;
当x∈[-1,1]时 f '(x)< 0
∴f(x)在[-,-1]和[1,]上分别递增;在[—1,1]递减.
∴f(x)在[-,]上的极大值和极小值分别为f(-1)= ,f(1)=- ………8分
而-<-< <
故存在这样的区间,其中一个区间为[-,] ……………………10分
(3)由(2)知f ' (x)=x2-1,∴an+1≥(an+1)2-1
而函数y=(x+1)2—1=x2+2x在[1,+∞)单调递增,
∴由al≥1,可知,a2≥(al+1)2—1=22—l;进而可得a3≥(a2+1)2—1≥23—1;…
由此猜想an≥2n—1. …………………12分
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,al≥1=21-1,结论成立
②假设n=k时有ak≥2k-1,
则当n=k+1时,
由f(x)=x2+2x在[1,+∞)上递增可知,
ak+1≥