山西省临汾市吉县第一中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03,出现丙级品的概率为0.01,则对产品抽查一次抽得正品的概率是(      ) A．0.09      B．0.98     C．0.97      D．0.96 参考答案： D 2. 若焦距为的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为（    ） A．          B．          C．          D． 参考答案： B 3. 若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 求得f（x）的导数，可得切线l1的斜率k1，求得g（x）的导数，可得切线l2的斜率k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合正弦函数的值域和条件可得，?x1，?x2使得等式成立，即（，0）?[﹣1|a|，﹣1|a|]，解得a的范围即可． 【详解】解：函数f（x）＝1n（x+1）+x2， ∴f′（x）2x，（ 其中x＞﹣1）， 函数g（x）asincosxasinx﹣x， ∴g′（x）acosx﹣1； 要使过曲线f（x）上任意一点的切线为l1， 总存在过曲线g（x）＝上一点处的切线l2，使得l1⊥l2， 则[2x1）（acosx2﹣1）＝﹣1， acosx2﹣1， ∵2x12（x1+1）﹣2≥22 ∵?x1，?x2使得等式成立， ∴（，0）?[﹣1|a|，﹣1|a|]， 解得|a|， 即a的取值范围为a或a． 故选：A． 【点睛】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及转化思想的运用，区间的包含关系，考查运算能力，属于中档题． 4. 已知半径为2，圆心在x轴的正半轴上的圆C与直线3x+4y+4=0相切，则圆C的方程为(  )． A．x2+y2-2x-3=0       B.x2+y2+4x=0 C．x2+y2+2x-3=0        D.x2+y2-4x=0 参考答案： D 5. 是虚数单位，则复数的虚部等于（　　）  A．1     B．       C．     D． 参考答案： A 略 6. 若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（　　） A．大前提 B．小前提 C．推理过程 D．没有出错 参考答案： A 【考点】F6：演绎推理的基本方法． 【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确． 【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0， 其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的， 故选A． 7. 数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有 A．a3＋a9＜b4＋b10 B．a3＋a9≥b4＋b10 C．a3＋a9≠b4＋b10 D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定 参考答案： B 8. 集合M＝{1,2，(m2－2m－5)＋(m2＋5m＋6)i}，N＝{3,10}，且M∩N≠?，则实数m的值为． A．－2       B．－2或4       C．－2或－3        D．－2或5       （   ） 参考答案： C 略 9. 直线l： x+y+3=0的倾斜角α为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 参考答案： C 【考点】直线的倾斜角． 【分析】由题意可得，直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得 α的值． 【解答】解：由于直线l： x+y+3=0的倾斜角为α，则直线的斜率tanα=﹣， 再由0°≤α＜180°，可得 α=120°， 故选C． 10. 双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是(     ) A．2 B． C．4 D． 参考答案： C 【考点】双曲线的标准方程． 【专题】计算题． 【分析】将双曲线方程化为标准方程，求出实轴长． 【解答】解：2x2﹣y2=8即为 ∴a2=4 ∴a=2 故实轴长为4 故选C 【点评】本题考查双曲线的标准方程、由方程求参数值． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在上是增函数，实数的范围是★★★★★★． 参考答案： 略 12. 甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话.甲说：是乙做的.乙说：不是我做的.丙说：不是我做的.则做好事的是          ．（填甲、乙、丙中的一个） 参考答案： 丙 假如甲说的是对的，则乙说了假话，丙说的是真话，与条件不符；假如乙说的是真话，则甲说的是假话，丙说的也是假话，符合条件；假如丙说的是真话，则甲乙二人中必有一人说的是真话，与条件不符，所以乙说的是真话，是丙做的好事. 故答案为丙.   13. 不等式恒成立，则的最小值为                ； 参考答案： 略 14. 某商品一件的成本为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，当每件商品的定价为         元时，利润最大． 参考答案：    15. 在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为       。 参考答案： 建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则（），，，（）。所以，。因为，所以，由此推出 。又，，从而有 。 16. 函数的值域是                         参考答案： 17. 在的二项展开式中，第4项的系数为　　． 参考答案： ﹣40 【考点】DC：二项式定理的应用． 【分析】由通项公式求得第4项，即可求得第四项的系数． 【解答】解：在的二项展开式中，由通项公式求得第4项为 T4=?（4x2）?=， 故第4项的系数为﹣40， 故答案为﹣40． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，，. （1）求与的夹角和的值； （2）设，，若与共线，求实数m的值. 参考答案： （1）与的夹角为，；（2）. 【分析】 （1）根据求出，根据数量积关系求出夹角，求出模长； （2）根据共线定理必存在使得：，求解参数. 【详解】（1），，， ， ， 所以， 所以与的夹角为， ； （2）由（1）可得：与不共线， ，，若与共线， 则必存在使得：， 所以， 得. 【点睛】此题考查向量的数量积运算，根据数量积关系求向量夹角和模长，利用平面向量基本定理结合向量共线求参数的值. 19. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (1)证明AB⊥A1C; (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值. 参考答案： (Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,, ∵AB=,=,∴是正三角形, ∴⊥AB,   ∵CA=CB,   ∴CE⊥AB,   ∵=E,∴AB⊥面,   ∴AB⊥;  (Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB, 又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥, ∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系, 有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),== (-1,0,),=(0,-,),  设=是平面的法向量, 则,即,可取=(,1,-1), ∴=, ∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为  略 20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°． （1）求证：PC⊥BC； （2）求点A到平面PBC的距离． 参考答案： 考点： 点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 空间位置关系与距离；立体几何． 分析： （1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证； （2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离： 方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求； 方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求． 解答： 解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC． 由∠BCD=90°，得CD⊥BC， 又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD， 所以BC⊥平面PCD． 因为PC?平面PCD，故PC⊥BC．   （2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等． 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍． 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F． 易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．   （方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h． 因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°． 从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1． 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积． 因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC． 又PD=DC=1，所以． 由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积． 由VA﹣PBC=VP﹣ABC，，得， 故点A到平面PBC的距离等于． 点评： 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力． 21. 在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55. (1)求an和bn； (2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率． 参考答案： 略 22. 设函数 （Ⅰ）若函数在点处的切线方程为，求实数k与a的值； （Ⅱ）若函数有两个零点，求实数a的取值范围，并证明：. 参考答案： （1）因为，所以 又因为，所以，即……3分 （2）因为，所以，令， 则， 令，解得，令，解得， 则函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 又当时，，当时，， 画出函数的图象，要使函数的图象与有两个不同的交点，则，即实数的取值范围为.……8分 由上知，，不妨设，则， 要证，只需证，因为，且函数在上单调递减，所以只需证，由，所以只需， 即证，