山西省太原市东山煤矿中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知中,分别是内角所对的边,且,则下列结论正确的是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 已知函数,且关于的方程有且只有一个实根,则实数的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 集合,若将集合A中的数按从小到大排成数列,则有,,,
,……依此类推,将数列依次排成如图所示的三角形数阵,则第六行第三个数为 ( )
A.247 B.735 C.733 D.731
参考答案:
C
略
4. 如果a>b>0,那么下列不等式中不正确的是( )
A. B. C.ab>b2 D.a2>ab
参考答案:
B
【考点】不等关系与不等式.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】由a>b>0,可得ab>0且a2>b2>0,利用不等式的性质2“不等式的两边同乘(除)一个正数,不等号方向不变”,逐一分析四个答案的正误,可得答案
【解答】解:∵a>b>0,
∴ab>0
∴,即,故A答案正确;
∴a2>b2>0,即>,即,故B答案正确;
∴ab>b2,故C答案正确;
∴a2>ab,故D答案正确;
故不等式中不正确的是B
故选B
【点评】本题考查的知识点是不等式与不等关系,熟练掌握不等式的性质是解答的关键.
5. 已知函数,则的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 已知:命题:“是的充分必要条件”;
命题:“”.则下列命题正确的是( )
A.命题“∧”是真命题
B.命题“(┐)∧”是真命题
C.命题“∧(┐)”是真命题
D.命题“(┐)∧(┐)”是真命题
参考答案:
B
7. 随机变量的概率分布列规律为其中为常数,则的值为 ( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 某程序框图如图1所示,现输入如下四个函数: ,,,,则可以输出的函数是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
有程序框图可知可以输出的函数既是奇函数,又要存在零点.满足条件的函数是B.
9. 曲线C:在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
因为,所以切下的斜率为,
所以切线方程为 ,即,选A
10. 以下关于排序的说法中,正确的是( )
A.排序就是将数按从小到大的顺序排序
B.排序只有两种方法,即直接插入排序和冒泡排序
C.用冒泡排序把一列数从小到大排序时,最小的数逐趟向上漂浮
D.用冒泡排序把一列数从小到大排序时,最大的数逐趟向上漂浮
参考答案:
C
无
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 命题“若x2<1,则﹣1<x<1”的逆命题是 .
参考答案:
若﹣1<x<1,则x2<1
【考点】四种命题.
【分析】根据逆命题的定义进行求解,注意分清命题的题设和结论.
【解答】解:命题“若x2<1,则﹣1<x<1”的逆命题是:
若﹣1<x<1,则x2<1,
故答案为:﹣1<x<1,则x2<1.
12. 过点且与直线平行的直线方程是
参考答案:
设与直线平行的直线方程为,把点(0,3)代入可得 0-3+c=0,c=3,
故所求的直线的方程为,
考点:直线的一般式方程与直线的平行关系.
点评:本题主要考查利用待定系数法求直线的方程,属于基础题.
13. “x<-1”是“x2-1>0”的____▲____条件.
参考答案:
充分而不必要
略
14. 已知,则复数z= ▲ .
参考答案:
②③①;
15. 已知点在直线上,则的最小值为 ;
参考答案:
8
16. 关于函数.有下列三个结论:①的值域为;②是 上的增函数;③的图像是中心对称图形,其中所有正确命题的序号是_______;
参考答案:
①②③
略
17. 从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有 个.(用数字作答)
参考答案:
300
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 当实数m为何值时,复数z=(m2+m)+(m2﹣1)i是:
①实数; ②虚数; ③纯虚数.
参考答案:
【考点】复数的基本概念.
【分析】①由复数z的虚部等于0求解m的值;
②由复数z的虚部不等于0求解m的值;
③复数z的实部等于0且虚部不等于0联立求解m的值.
【解答】解:①当m2﹣1=0,即m=±1时,z是实数;
②当m2﹣1≠0,即m≠±1时,z是虚数;
③当m2+m=0,且m2﹣1≠0,即m=0时,z是纯虚数.
19. 如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形,平面PAB⊥平面ABCD,E是PA的中点,且PA=PB=AB=4,.
(Ⅰ)求证:PC∥平面EBD;
(Ⅱ) 求三棱锥A﹣PBD的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
【分析】(Ⅰ)连接AC,交BD于点O,连接EO,则PC∥EO,由此能证明PC∥平面EBD.
(Ⅱ)取AB中点H,连接PH,由V三棱锥A﹣PBD=V三棱锥P﹣ABD,能求出三棱锥A﹣PBD的体积.
【解答】证明:(Ⅰ)连接AC,交BD于点O,连接EO,则O是AC的中点.
又∵E是PA的中点,∴EO是△PAC的中位线,∴PC∥EO,
又∵EO?平面EBD,PC?平面EBD,
∴PC∥平面EBD.
解:(Ⅱ)取AB中点H,连接PH,
由PA=PB得PH⊥AB,
又∵平面PAB⊥平面ABCD,
且平面PAB∩平面ABCD=AB,
∴PH⊥平面ABCD.
∵△PAB是边长为4的等边三角形,∴.
又∵=,
∴V三棱锥A﹣PBD=V三棱锥P﹣ABD=.
20. 已知中至少有一个小于2.
参考答案:
【考点】反证法与放缩法.
【分析】本题证明结论中结构较复杂,而其否定结构简单,故可用反证法证明其否定不成立,即证明不可能都不小于2,假设都不小于2,则得出2≥a+b,这与已知a+b>2相矛盾,故假设不成立,以此来证明结论成立.
【解答】证明:假设都不小于2,则
因为a>0,b>0,所以1+b≥2a,1+a≥2b,1+1+a+b≥2(a+b)
即2≥a+b,这与已知a+b>2
相矛盾,故假设不成立
综上中至少有一个小于2.
21. 已知函数f(x)=
(1)若m∈(﹣2,2),求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若m∈(0,],则当x∈[0,m+1]时,函数y=f(x)的图象是否总在直线y=x上方,请写出判断过程.
参考答案:
【考点】函数单调性的判断与证明;函数的值域.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论m的范围,求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)令g(x)=x,讨论m的范围,根据函数的单调性求出g(x)的最大值和f(x)的最小值,结合函数恒成立分别判断即可证明结论.
【解答】解:(Ⅰ)函数定义域为R,f′(x)=
①当m+1=1,即m=0时,f′(x)≥0,此时f(x)在R递增,
②当1<m+1<3即0<m<2
x∈(﹣∞,1)时,f′(x)>0,f(x)递增,
x∈(1,m+1)时,f′(x)<0,f(x)递减,
x∈(m+1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增;
③0<m+1<1,即﹣1<m<0时,
x∈(﹣∞,m+1)和(1,+∞),f′(x)>0,f(x)递增,
x∈(m+1,1)时,f′(x)<0,f(x)递减;
综上所述,①m=0时,f(x)在R递增,
②0<m<2时,f(x)在(﹣∞,1),(m+1,+∞)递增,在(1,m+1)递减,
③﹣2<m<0时,f(x)在(﹣∞,m+1),(1,+∞)递增,在(m+1,1)递减;
(Ⅱ)当m∈(0,]时,由(1)知f(x)在(0,1)递增,在(1,m+1)递减,
令g(x)=x,
①当x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=1,g(x)max=1,
所以函数f(x)图象在g(x)图象上方;
②当x∈[1,m+1]时,函数f(x)单调递减,
所以其最小值为f(m+1)=,g(x)最大值为m+1,
所以下面判断f(m+1)与m+1的大小,
即判断ex与(1+x)x的大小,其中x=m+1∈(1,],
令m(x)=ex﹣(1+x)x,m′(x)=ex﹣2x﹣1,
令h(x)=m′(x),则h′(x)=ex﹣2,
因x=m+1∈(1,],所以h′(x)=ex﹣2>0,m′(x)单调递增;
所以m′(1)=e﹣3<0,m′()=﹣4>0,
故存在x0∈(1,]使得m′(x0)=ex0﹣2x0﹣1=0,
所以m(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,)单调递增
所以m(x)≥m(x0)=ex0﹣x02﹣x0=2x0+1﹣﹣x0=﹣+x0+1,
所以x0∈(1,]时,m(x0)=﹣+x0+1>0,
即ex>(1+x)x也即f(m+1)>m+1,
所以函数f(x)的图象总在直线y=x上方.
22. 已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点.
(1)求双曲线的方程;
(2)若点在双曲线上,求 的面积.
参考答案:
(1);(2)6.
【分析】
(1)设出双曲线的方程,代入点P的坐标,即可得到双曲线的方程;
(2)利用点M(3,m)在双曲线上,求出m值,进而利用S|F1F2|?|m|,即可求△F1MF2的面积.
【详解】解:(1)∵,∴可设双曲线的方程x2﹣y2=λ
∵双曲线过点P(4,),∴16﹣10=λ,即λ=6
∴双曲线的方程x2﹣y2=6
(2)由(1)知,双曲线中a=b
∴,∴,
∴|F1F2|=4
∵点M(3,m)在双曲线上,∴9﹣m2=6,∴|m|
∴△F1MF2的面积为S|F1F2|?|m|=6
即△F1MF2的面积为6.
【点睛】本题考查双曲线的标准方程,考查三角形面积的计算,确定双曲线的方程是关键.