浙江省宁波市东方外国语学校高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是
A. B. C. D.
参考答案：
C
2. 在下列命题中：①若、共线,则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异面直线,则、一定不共面；③若、、三向量两两共面,则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、,则空间任意一个向量总可以唯一表示为=x+y+z.其中真命题的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案：
A
3. 算法的有穷性是指（ ）
A． 算法必须包含输出 B．算法中每个操作步骤都是可执行的
C． 算法的步骤必须有限 D．以上说法均不正确
参考答案：
C
4. 已知离散型随机变量X的概率分布列为
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差D(X)等于( )
A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4
参考答案：
C
略
5. 已知函数上的奇函数，当x>0时，
的大致图象为
参考答案：
B
6. 在的展开式中，的系数为( )
A. -120 B. 120 C. -15 D. 15
参考答案：
C
【分析】
写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数。
【详解】的展开式的通项公式为，令，即时，系数为。故选C
【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题。
7. 如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)．如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法的种数共有 种。
参考答案：
16
8. 已知，，，则a,b,c的大小关系是（ ）。
A. B. C. D.
参考答案：
A
9. 一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 24
参考答案：
B
【分析】
根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.
【详解】
由三视图知三棱锥的侧棱与底垂直，其直观图如图，
可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，
，
棱锥的体积，故选B.
【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
10. 设F是双曲线C：–= 1（a > 0，b > 0）的右焦点，P是该双曲线右支上异于顶点的一点，则以线段PF为直径的圆与以该双曲线的实轴为直径的圆（ ）
（A）外离 （B）外切 （C）相交 （D）外离或相交
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
参考答案：
5
12. 已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于____.
参考答案：
6
略
13. 某校在一次月考中约有人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分分），统计结果显示数学考试成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于分的学生约有 人.
参考答案：
略
14. 如图：先将等腰的斜边与有一个角为的的斜边重合，然后将等腰沿着斜边AB翻折成三棱锥,若，则的最大值为_.
参考答案：
15. 过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程
参考答案：
或
16. 右面程序输入时的运算结果是 ， ．
参考答案：
3,43
17. 设实数x、y满足约束条件则目标函数z=2x﹣y的最大值是 ．
参考答案：
4
【考点】简单线性规划．
【分析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解
【解答】解：作出不等式组表示的 平面区域，如图所示
由z=2x﹣y可得y=2x﹣z，则﹣z表示直线z=2x﹣y在y轴上的截距，截距越小，z越大
由可得A（2，0），此时z最大为4，
故答案为：4
【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 抛物线上的点到点的距离与到直线的距离之差为，过点的直线交抛物线于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若的面积为，求直线的方程.
参考答案：
解：（1）设，
由定义知，所以，，所以，，所以，抛物线方程为；
（2）设，由（1）知；
若直线的斜率不存在，则方程为，此时，所以的面积为，不满足，所以直线的斜率存在；
设直线的方程为，带入抛物线方程得：
所以，，，所以，
点到直线的距离为，
所以，，得：.
所以，直线的方程为或.
19. 全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平.某部门在该市2013-2018年发布的全民健身指数中，对其中的“运动参与评分值”（满分100分）进行了统计，制成如图所示的散点图.
（1）根据散点图，建立y关于t的回归方程；
（2）从该市的市民中随机抽取了容量为150的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为50，以频率为概率，若从这150名市民中随机抽取4人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
参考答案：
（1）；
（2）的分布列如下：
.
【分析】
（1）求得样本中心点（，），利用最小二乘法即可求得线性回归方程；
（2）由X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求得其概率，即可求得分布列及数学期望．
【详解】（1）由题意得:
，
.
则.
∴所求回归方程为.
（2）以频率为概率，从这150名市民中随机抽取人，经常参加体育锻炼的概率为，由题知，的可能取值为0，1，2，3，4.则
.
的分布列如下：
∴或
【点睛】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，二项分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
20. （文科做）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．
（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；
（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间上的最值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，
令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，
x
1
（1，2）
2
（2，3）
3
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
1
↘
2﹣2ln2
↗
3﹣2ln3
从上表可知，
∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），
函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是1，最小值为2﹣2ln2；
（2），
①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；
②当a=2时，∵，
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；
综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；
当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．
21. （本小题满分14分）
如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，，AA1＝4，点D是AB的中点。
（1）求证：AC ⊥ BC1；
（2）求证：AC 1 // 平面CDB1；
（3）求多面体的体积。
参考答案：
解：（1）∵底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴ AC⊥BC， （2分）
又在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC底面ABC，∴CC1⊥AC，（3分）
BC、CC1平面BCC1，且BC 与CC1相交 ∴ AC⊥平面BCC1；（5分）
而BC1平面BCC1 ∴ AC⊥BC1 （6分）
（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，
∵ D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴ DE//AC1， （8分）
∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1， ∴ AC1//平面CDB1 （10分）
（3） （11分）=- （13分）
=20 （14分）
略
22. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（1）求取出的4个球均为黑球的概率；
（2）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列
参考答案：
略