2022-2023学年江苏省连云港市中学分校高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数y=x+cosx的大致图象是(图中虚线是直线y=x ) （ ）
参考答案：
B
2. 已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≥0，则p是( )
A．x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0 B. x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0
C． x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0 D. x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0
参考答案：
C
略
3. 从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球
参考答案：
C
4. 若直线的参数方程为，则直线的斜率为( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
5. 若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的最大侧面积为 ( )
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D.πr2
参考答案：
A
略
6. 下列语句是命题的是（ ）
A．这是一道难题 B．0.5是整数 C． D．指数函数是增函数吗？
参考答案：
B
略
7. 在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于 ( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
参考答案：
D
略
8. 曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（ ）
A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）
参考答案：
C
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标．
【解答】解：因为直线y=4x﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x﹣1，
所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f'（x）=4．
因为函数的导数为f'（x）=3x2+1，
由f'（x）=3x2+1=4，解得x=1或﹣1．
当x=1时，f（1）=0，当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣4．
所以p0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．
故选C．
9. 已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
参考答案：
D
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．
【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，
设A（x， x），则∵四边形ABCD的面积为2b，
∴2x?bx=2b，
∴x=±1
将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，
∴双曲线的方程为﹣=1，
故选：D．
10. 已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过点且与双曲线有一个公共点的直线有 条
参考答案：
4
12. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， ， ，成等比数列．
参考答案：
，.
【考点】类比推理；等比数列的性质．
【分析】由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性．
【解答】解：设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，
则T4=b14q6，T8=b18q1+2++7=b18q28，
T12=b112q1+2++11=b112q66，
∴=b14q22， =b14q38，
即（）2=?T4，故T4，，成等比数列．
故答案为： ，.
13. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有 种不同的志愿者分配方案．（用数字作答）
参考答案：
21
【考点】计数原理的应用．
【分析】由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得．
【解答】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，
若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A32=6种方法，
若甲不参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A32=6种方法，
若甲不参加，乙不参加，有A33=6种方法，
根据分类计数原理，共有3+6+6+6=21种．
14. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm,则该球
的体积是 cm
参考答案：
略
15. 已知两点M（－5，0）N（5，0），则满足|PM|－|PN|＝6的P点的轨迹方程为 .
参考答案：
（x＞0）
略
16. 从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成6组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为1∶1∶3∶6∶4∶2，最右边的一组的频数是8.
估计这次数学竞赛成绩的平均数 .
参考答案：
略
17. 不等式≧0的解集为___________.
参考答案：
由题意得，所以解集为，填。
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 为了考查培育的某种植物的生长情况，从试验田中随机抽取100柱该植物进行检测，得到该植物高度的频数分布表如下：
组序
高度区间
频数
频率
1
[230，235）
14
0.14
2
[235，240）
①
0.26
3
[240，245）
②
0.20
4
[245，250）
30
③
5
[250，255）
10
④
合计
100
1.00
（Ⅰ）写出表中①②③④处的数据；
（Ⅱ）用分层抽样法从第3、4、5组中抽取一个容量为6的样本，则各组应分别抽取多少个个体？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，从抽出的容量为6的样本中随机选取两个个体进行进一步分析，求这两个个体中至少有一个来自第3组的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（Ⅰ）由频率=，利用频数分布表能求出表中①②③④处的数据．
（Ⅱ）抽样比为，由此能求出第3、4、5组中抽取的个体数．
（Ⅲ）设从第3组抽取的2个个体是甲、乙，第4组抽取的3个个体是a、b、c，第5组抽取的1个个体是d，由此利用列举法能求出这两个个体中至少有一个来自第3组的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由频率=，得：，
解得①26，②20，③0.30，④0.10．
（Ⅱ）抽样比为，
第3、4、5组中抽取的个体数分别是0.1×20=2，0.1×30=3，0.1×10=1．
（Ⅲ）设从第3组抽取的2个个体是甲、乙，第4组抽取的3个个体是a、b、c，
第5组抽取的1个个体是d，
记事件A为“两个个体都不来自第3组”，则从中任取两个的基本事件为：
甲乙、甲a、甲b、甲c、甲d、乙a、乙b、乙c、乙d、ab、ac、ad、bc、bd、cd，
共15个，且各基本事件等可能
其中事件“两个个体中至少有一个来自第3组”包含的基本事件为：
甲乙、甲a、甲b、甲c、甲d、乙a、乙b、乙c、乙d，共有9个
故两个个体中至少有一个来自第3组的概率．
19. 在三棱锥S－ABC中，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，
G是AB上任意一点．
(1) 求证：SG∥平面DEF；
(2) 如果三棱锥S－ABC 中各条棱长均为a，G是AB的中点，求SG与平面ABC所成角的余弦值．
参考答案：
(1) (本小题4分)
(2) (本小题6分) ∵SG= ，S在面ABC内的射影O在CG上，且GO=
∴∠SGO 就是SG与平面ABC所成角 ∴COS∠SGO=
略
20. 已知曲线y＝. （12分）
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；
(3)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
参考答案：
[解析] ∵y＝，∴y′＝－.
(1)显然P(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在P(1,1)点导数．
即k＝f′(1)＝－1.
所以曲线在P(1,1)处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.
(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上．
则可设过该点的切线的切点为A，
那么该切线斜率为k＝f′(a)＝.
则切线方程为y－＝－(x－a)．①
将Q(1,0)坐标代入方程：0－＝(1－a)．
解得a＝，代回方程①整理可得：
切线方程为y＝－4x＋4.
(3)设切点坐标为A，则切线斜率为k＝－＝－，解得a＝±，那么A，
略
21. （12分）已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组，现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号依次增加10进行系统抽样．
（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；
（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，求这样本的方差；
（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名，记ξ为成绩大于75分的人数，求ξ的分布列及数学期望．
参考答案：
（1）由题意，抽出号码为22的组数为第3组 . ……………………………1分
因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02， 12， 22， 32， 42，52，62，72，82，92 . ……………………………2分
（2）这10名学生的平均成绩为：
＝×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，…………………………4分
故样本方差为：(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52 . ………6分
（3）的取值为. 由超几何分布得： …………………………7分
…………………………8分