广西壮族自治区南宁市市第三十一中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域为, ,对任意,,则
的解集为
A.(,1) B.(,+) C.(,) D.(,+)
参考答案:
B
略
2. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列,且c = 2a,则cosB=
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 以下关于排序的说法中,正确的是( )
A.排序就是将数按从小到大的顺序排序
B.排序只有两种方法,即直接插入排序和冒泡排序
C.用冒泡排序把一列数从小到大排序时,最小的数逐趟向上漂浮
D.用冒泡排序把一列数从小到大排序时,最大的数逐趟向上漂浮
参考答案:
C
4. 已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线,则( )
A.3 B. C. D.
参考答案:
C
5. △ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知,则b= ( )
A.3 B.2 C. D.
参考答案:
A
6. 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如右图).由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为( )
A.20 B.25 C.30 D.35
参考答案:
C
7. 点M在圆 13 x 2 + 13 y 2 – 15 x – 36 y = 0上运动,点N在射线OM上(O为原点)且| OM | ? | ON | = 12,则N点的轨迹方程为( )
(A)5 x + 12 y – 52 = 0 (B)5 x – 12 y – 52 = 0
(C)5 x – 12 y + 52 = 0 (D)5 x + 12 y + 52 = 0
参考答案:
A
8. 一组数据的方差为3,将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍,所得到的一组数据的方差是 ( )
A.1 B.27 C.9 D.3
参考答案:
B
9. 用反证法证明命题“”,其反设正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
10. 已知,则二项式的二项式系数之和与各项系数之和的积为( )
A. 0 B. -1 C. 1 D. 以上都不对
参考答案:
B
【分析】
由定积分的运算性质和定积分的几何意义,求得,进而得二项式系数之和,再令,可得展开式的各项之和为,即可求解,得到答案。
【详解】由定积分的运算性质,可得,
又由表示圆的上半圆的面积,即,
所以,
又由,所以,
所以二项式为的二项式系数之和为 ,
令,可得展开式的各项之和为,
所以二项式系数之和与各项系数之和的积为,故选B。
【点睛】本题主要考查了定积分性质及运算,以及二项式系数之和与项的系数之和的求解及应用,其中呢解答中熟练应用定积分的性质求得的值,以及合理求解二项式系数与项的系数之和是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一船在海面 A 处望见两灯塔 P , Q 在北偏西15°的一条直线上,该船沿东北方向航行4海里到达 B 处,望见灯塔 P 在正西方向,灯塔 Q 在西北方向,则两灯塔的距离为__________.
参考答案:
海里
如图,
在△ ABP 中, AB =4,∠ BAP =60°,∠ ABP =45°,
∴∠ APB =75°.由正弦定理得 .
又在△ ABQ 中,∠ ABQ =45°+45°=90°,∠ PAB =60°,∴ AQ =2 AB =8,于是 PQ = AQ - AP = ,
∴两灯塔间距离为 海里.
12. 若集合M={x|x<1},N={x|},则MN= 。
参考答案:
解析:, MN=。
13. 复数满足(是虚数单位),则复数对应的点位于复平面的第 象限.
参考答案:
四
14. 已知,一元二次方程的一个根z是纯虚数,则___.
参考答案:
【分析】
设复数z=bi,把z代入中求出b和m的值,再计算.
【详解】由题意可设复数z=bi,b∈R且b≠0,i是虚数单位,
由z是的复数根,
可得(bi)2﹣(2m-1)bi+=0,
即(﹣b2+1+)﹣(2m-1)bi=0,
∴ ,
解得,,
∴z=i,z+m=i
∴|z+m|=.
故答案为:.
【点睛】本题考查复数相等的概念和复数模长的计算,属于基础题.
15. 已知,且与的夹角为钝角,则实数的取值范围是----______
参考答案:
略
16. 不等式x2﹣x﹣2>0的解集是 .
参考答案:
{x|x>2或x<﹣1}
考点: 一元二次不等式的解法.
专题: 计算题.
分析: 先将一元二次不等式进行因式分解,然后直接利用一元二次不等式的解法,求解即可.
解答: 解:不等式x2﹣x﹣2>0化为:(x﹣2)(x+1)>0,解得x>2或x<﹣1.
所以不等式的解集为:{x|x>2或x<﹣1};
故答案为:{x|x>2或x<﹣1}.
点评: 本题是基础题,考查一元二次不等式的解法,考查计算能力,属于基础题.
17. 如果不等式对任意实数都成立,则实数的取值范围是 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(Ⅰ)证明:为定值,并写出点E的轨迹方程;
(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与C1交于P,Q两点, 求证:是定值,并求出该定值.
参考答案:
(I)();(II)
【分析】
(I)根据几何关系,即可证明为定值,再利用椭圆的定义即可求出点E的轨迹方程;
(Ⅱ)利用点斜式设出直线l的方程,与椭圆方程联立方程组,得到关于的一元二次方程,利用根与系数关系以及弦长公式表示出,同理可得,代入中进行化简即可证明为定值。
【详解】(I)因为,,故,
所以,故.
又圆的标准方程为,从而,
所以,由题设得,,,
由椭圆定义可得点的轨迹方程为:().
(II)依题意:与轴不垂直,设的方程为,,.
由得,.
则,.
所以.
同理: 故(定值)
【点睛】本题考查解析几何中的轨迹问题以及定值问题,综合性强,运算量大,属于中档题。
19. 已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,且满足a1+a5=10,S4=16;数列{bn}满足:b1+3b2+32b3+..
.+3n﹣1bn=,(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【专题】计算题;整体思想;综合法;等差数列与等比数列.
【分析】(Ⅰ)通过联立a1+a5=10、S4=16可知首项和公差,进而可知an=2n﹣1;通过作差可知当n≥2时bn=,进而可得结论;
(Ⅱ)通过(I)anbn=(2n﹣1),进而利用错位相减法计算即得结论.
【解答】解:(Ⅰ)依题意,,
解得:,
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1;
∵b1+3b2+32b3+…+3n﹣1bn=,
∴b1+3b2+32b3+…+3n﹣2bn﹣1=(n≥2),
两式相减得:3n﹣1bn=﹣=,
∴bn=(n≥2),
又∵b1=满足上式,
∴数列{bn}的通项公式bn=;
(Ⅱ)由(I)可知anbn=(2n﹣1),
则Tn=1?+3?+…+(2n﹣1),
Tn=1?+3?+…+(2n﹣3)+(2n﹣1),
两式相减得: Tn=+2(++…+)﹣(2n﹣1)
=2?﹣﹣(2n﹣1)
= [1﹣(n+1)],
∴Tn=1﹣(n+1).
【点评】本题考查数列的通项及前n项和,考查错位相减法,注意解题方法的积累,属于中档题.
20. 已知曲线C上的动点P()满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B(1,0)距离之比为
(1)求曲线C的方程。
(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N,若|MN|=4,求直线的方程。
参考答案:
(1)由题意得|PA|=|PB| ……2分;
故 ……3分;
化简得:(或)即为所求。 ……5分;
(2)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
将代入方程得, 所以|MN|=4,满足题意。 ……8分;
当直线的斜率存在时,设直线的方程为+2
由圆心到直线的距离 ……10分;
解得,此时直线的方程为
综上所述,满足题意的直线的方程为:或。 ……12分.
略
21. 已知与曲线C:相切的直线交的正半轴与两点,O为原点,=a,,.
(1)求线段中点的轨迹方程;
(2)求的最小值.(12分)
参考答案:
解析:(1)设AB的中点为P(x,y) ,圆C的方程化简为:
又直线的方程为:,,
①,又∵P是AB的中点,
,代入①得,即线段中点的轨迹方程为;.
(2),
,.∴.
22. 已知函数f(x)=sincos﹣cos2+
(1)若x∈[0,],且f(x)=,求cosx的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2bcosA≤2c+a,求f(B)的取值范围.
参考答案:
解:(1)依题意得, ………………………………2分
由得:,,
从而可得, ………………………………4分
则……6分
(2)由得:,从而,…………………10分
故 ……………………………………12分
略