湖北省十堰市六里坪镇中学高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 目标函数z=2x+y,变量x,y满足,则有( )
A.zmax=12,zmin=3 B.zmax=12,z无最小值
C.zmin=3,z无最大值 D.z既无最大值,也无最小值
参考答案:
C
【考点】简单线性规划.
【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最值情况即可.
【解答】解:先根据约束条件画出可行域,
由得A(5,2),
由得B(1,1).
当直线z=2x+y过点A(5,2)时,z最大是12,
当直线z=2x+y过点B(1,1)时,z最小是3,
但可行域不包括A点,故取不到最大值.
故选C.
2. 如图,已知两座灯塔 a 和 b 与海洋观测站 c 的距离都等于 a km,灯塔 a 在观测站 c 的北偏东20°,灯塔 b 在观测站 c 的南偏东40°,则灯塔 a 与灯塔 b 的距离为( ).
a. a km b. km c. km d.2 a km
参考答案:
B
3. 已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若,则( )
A. 1 B. C. D. 2
参考答案:
B
略
4. 等差数列{an}共有2n+1项,其中奇数项之和为4,偶数项之和为3,则n的值是
A.3 B.5 C.7 D.9
参考答案:
A
奇数项和为,偶数项和为
奇数项和-偶数项和=an+1=4-3=1,偶数项和=nan+1=n=3,故选择A.
5. 对任意实数,圆C:与直线的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.与取值有关
参考答案:
A
6. 不论取何值,方程所表示的曲线一定不是( )
A 直线 B 双曲线 C 圆 D 抛物线
参考答案:
A
略
7. 设三次函数的导函数为,函数的图象的一部分如下图所示,则( )
A.极大值为,极小值为
B.极大值为,极小值为
C.极大值为,极小值为
D.极大值为,极小值为
参考答案:
D
略
8. 下列命题中的假命题是( )
A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=1
C.?x∈R,x3>0 D.?x∈R,2x>0
参考答案:
A
略
9. x=5
y=6
PRINT xy=11
END
A.xy=11 B.11 C.xy=11 D.出错信息
参考答案:
D
10. 矩形ABCD沿BD将△BCD折起,使C点在平面ABD上投影在AB上,折起后下列关系:①△ABC是直角三角形;②△ACD是直角三角形;③AD∥BC;④AD⊥BC.其中正确的是( )
A.①②④ B.②③ C.①③④ D.②④
参考答案:
A
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】记折起后C记为P点,根据线面垂直的性质定理和判断定理,分析折起后的线面,线线关系,可得答案.
【解答】解:已知如图:折起后C记为P点,
由P(C)O⊥底面ABD,可得P(C)O⊥AD,
又由AB⊥AD,
可得:AD⊥平面P(C)AB,
进而AD⊥P(C)B,
又由PD(CD)⊥PB(CB),
故PB(CB)⊥平面P(C)AD,
故PB(CB)⊥P(C)A,
即:△ABP是直角三角形;
即:△ABC是直角三角形;
故①正确;
由①中,AD⊥平面P(C)AB,
可得:AD⊥P(C)A,
即②△APD是直角三角形,
即△ACD是直角三角形,
故②正确;
AD与BC,异面,故③错误;
由①中,AD⊥平面P(C)AB,
可得:AD⊥P(C)B,
即AD⊥BC,
故④正确;
故选:A
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了空间直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系等知识点,难度中档.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数是上的单调函数,则的取值范围为 .
参考答案:
略
12. 不等式<的解集是 。
参考答案:
( 1,2 )∪( 3,+ ∞ )
13. 已知离散型随机变量ξ~B(5,),则D(ξ)= .
参考答案:
【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差.
【分析】利用二项分布的性质求解即可.
【解答】解:∵离散型随机变量ξ~B(5,),Dξ=5×=,
故答案为:.
14. 如图,若射线OM,ON上分别存在点与点,则三角形面积之比.若不在同一平面内的射线OP,OQ上分别存在点,点和点,则类似的结论 。
参考答案:
15. 如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在,此时点位置是原点,圆在轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于()时,的坐标为 .
参考答案:
16. 若对个向量,存在个不全为零的实数,使得=成立,则称向量为“线性相关”.依此规定,请你求出一组实数的值,它能说明=(1,0), =(1,-1), =(2,2) “线性相关”.的值分别是_____,______,______;(写出一组即可).
参考答案:
17. 设a1,a2,…,an是各项不为零的n(n≥4)项等差数列,且公差d≠0.将此数列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列.
(1)若n=4,则= ;
(2)所有数对(n,)所组成的集合为 .
参考答案:
﹣4,1;{(4,﹣4),(4,1)}.
【考点】等差数列与等比数列的综合.
【专题】综合题;压轴题.
【分析】(1)当n=4时,a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项不可能成等比数列,再考虑分别删去a2,a3,即可得到结论;
(2)设出数列的公差d,列举出数列的各项,讨论从第一项开始删去,由得到的数列为等比数列,利用等比数列的性质,列出关于d与首项的方程,求出方程的解即可得到d的值,根据d不为0,得到满足题意的d的值,即可求出满足题意的所有数对,组成集合的形式即可.
【解答】解:(1)当n=4时,a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项,否则由连续三项成等比数列,可推出d=0.
若删去a2,则a32=a1?a4,即(a1+2d)2=a1?(a1+3d)化简得a1+4d=0,得=﹣4
若删去a3,则a22=a1?a4,即(a1+d)2=a1?(a1+3d)化简得a1﹣d=0,得=1
综上,得=﹣4或=1.
(2)设数列{an}的公差为d,则各项分别为:a1,a1+d,a1+2d,…,a1+(n﹣1)d,且a1≠0,d≠0,
假设去掉第一项,则有(a1+d)(a1+3d)=(a1+2d)2,解得d=0,不合题意;
去掉第二项,有a1(a1+3d)=(a1+2d)2,化简得:4d2+a1d=0即d(4d+a1)=0,解得d=﹣a1,
因为数列的各项不为零,所以数列不会出现第五项(a1+4d=0),所以数对(n,)=(4,﹣4);
去掉第三项,有a1(a1+3d)=(a1+d)2,化简得:d2﹣a1d=0即d(d﹣a1)=0,解得d=a1,
则此数列为:a,2a,3a,4a,…此数列仍然不会出现第五项,
因为出现第五项,数列不为等比数列,所以数对(n,)=(4,1);
去掉第四项时,有a1(a1+2d)=(a1+d)2,化简得:d=0,不合题意;
当去掉第五项或更远的项时,必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况,即d=0,不合题意.
所以满足题意的数对有两个,组成的集合为{(4,﹣4),(4,1)}.
故答案为:﹣4,1;{(4,﹣4),(4,1)}
【点评】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,是一道难题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知a>0,求证:﹣>﹣.
参考答案:
【考点】不等式的证明.
【分析】使用分析法两边平方寻找使不等式成立的条件,只需条件恒成立即可
【解答】证明:要证:﹣>﹣,
只需证:,
只需证:,
即2a+9+2>2a+9+2,
即证:>,
只需证:(a+5)(a+4)>(a+6)(a+3)
即证:20>18,
∵上式显然成立,
∴原不等式成立.
19. 如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥AB,AB=2AA1,M是AB的中点,△A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点.
(1)若DE∥平面A1MC1,求;
(2)求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的性质.
【专题】空间角.
【分析】(1)取BC中点N,连结MN,C1N,由已知得A1,M,N,C1四点共面,由已知条件推导出DE∥C1N,从而求出.
(2)连结B1M,由已知条件得四边形ABB1A1为矩形,B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M,由此能求出直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值.
【解答】解:(1)取BC中点N,连结MN,C1N,…
∵M,N分别为AB,CB中点
∴MN∥AC∥A1C1,
∴A1,M,N,C1四点共面,…
且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N,
又DE∩平面BCC1B1,
且DE∥平面A1MC1,∴DE∥C1N,
∵D为CC1的中点,∴E是CN的中点,…
∴.…
(2)连结B1M,…
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,
∴AA1⊥AB,即四边形ABB1A1为矩形,且AB=2AA1,
∵M是AB的中点,∴B1M⊥A1M,
又A1C1⊥平面ABB1A1,
∴A1C1⊥B1M,从而B1M⊥平面A1MC1,…
∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影,
∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M,
又B1C1∥BC,
∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…
设AB=2AA1=2,且三角形A1MC1是等腰三角形
∴,则MC1=2,,
∴cos=,
∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为.…
【点评】本题考查两条线段的比值的求法,考查角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
20. 已知函数
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)证明函数f(x)为奇函数.
参考答案:
【考点】函数的定义域及其求法;函数奇偶性的判断.
【分析】(1)由lg,得>0,进而求出x的取值范围,得到答案.
(2)证明f(﹣x)+f(x)=0,进而证明f(x)=﹣f(﹣x)得出答案
【解答】(1)解:∵由lg,得出>0,且1+x≠0
∴有(1﹣x)>0且(1+x)>0或者(1﹣x)<0且(1+x)<0
∵解得第一个不等式有﹣1<x<1,第二个不等式不存在
∴函数的