湖北省十堰市高枧中学2022-2023学年高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设曲线在点(1,1)处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为
A. B. C. D. 1
参考答案:
C
2. 已知α∥β,a?α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
参考答案:
D
【考点】平面与平面之间的位置关系;平面的基本性质及推论.
【分析】由题意知B点与a确定唯一的一个平面γ,则γ与β相交且交线仅有一条,再由α∥β知a∥b.
【解答】解:B点与a确定唯一的一个平面γ与β相交,
设交线为b,由面面平行的性质定理知a∥b.
故选D.
【点评】本题考查了确定平面的依据和面面平行的性质定理,是基础题.
3. 若都是实数,且,,则与的大小关系是
A. B. C. D. 不能确定
参考答案:
A
4. “单独二胎”政策的落实是我国完善计划生育基本国策的一项重要措施,事先需要做大量的调研论证.现为了解我市市民对该项措施是否认同,拟从全体市民中抽取部分样本进行调查.调查结果如下表:
调查人数
2
10
70
130
310
700
1500
2000
3000
5000
认同人数
2
9
60
116
286
639
1339
1810
2097
4515
认同频率
1
0.9
0.857
0.892
0.922
0.913
0.893
0.905
0.899
0.903
则根据上表我们可以推断市民认同该项措施的概率最有可能为 ( )
A.0.80 B.0.85 C.0.90 D.0.92
参考答案:
C
略
5. 已知直线方程为和分别为直线上和外的点,则方程表示( )
A.过点且与垂直的直线 B.与重合的直线
C.过点且与平行的直线 D.不过点,但与平行的直线
参考答案:
C
略
6. 已知a>0且a≠1,若当x≥1时,不等式恒成立,则a的最小值是( )
A.e B. C.2 D.ln2
参考答案:
A
7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表:
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A. 63.6万元 B. 67.7万元 C. 65.5万元 D. 72.0万元
参考答案:
C
【分析】
根据回归方程的性质,利用样本数据的中心点可求出方程的系数,可得答案.
【详解】解:由表中数据得:,,
又回归方程中的为9.4,
故,
将代入回归直线方程,得(万元).
∴此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5(万元).
故选:C.
【点睛】本题主要考察统计案例中的回归方程,属于基础题型.
8. 在空间直角坐标系中,平面α内有M(m,﹣2,1)和N(0,m,3)两点,平面α的一个法向量为=(3,1,2),则m等于( )
A.﹣2 B.2 C.3 D.﹣3
参考答案:
C
【考点】平面的法向量.
【分析】先求出=(﹣m,m+2,2),由题意得,从而利用=0,能求出m的值.
【解答】解:∵平面α内有M(m,﹣2,1)和N(0,m,3)两点,
平面α的一个法向量为=(3,1,2),
∴=(﹣m,m+2,2),
由题意得,则=﹣3m+m+2+4=0,
解得m=3.
故选:C.
【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量垂直的性质的合理运用.
9. 已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】椭圆的应用;椭圆的简单性质.
【专题】计算题.
【分析】由△ABF2是正三角形可知,即,由此推导出这个椭圆的离心率.
【解答】解:由题,∴即
∴,
∴,
解之得:(负值舍去).
故答案选A.
【点评】本题考查椭圆的基本性质及其应用,解题要注意公式的合理选取.
10. 已知是定义在R上的函数,对任意都有,
若的图象关于直线对称,且,则( )
A.5 B.4 C.3 D.2
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有____________种。(用数字作答)
参考答案:
36种
略
12. 在国家宏观政策的调控下,中国经济已经走向复苏. 统计我市某小型企业在2010年1~5月的收入,得到月份(月)与收入(万元)的情况如下表:
月份
1
2
3
4
5
收入
120
130
150
160
190
y关于x的回归直线方程为 .
参考答案:
13. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的横、纵坐标,则点P在直线上的概率为_________。
参考答案:
14. 函数y=f(x)图象上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是kA,kB,规定φ(A,B)=叫曲线y=f(x)在点A与点B之间的“弯曲度”,给出以下命题:
(1)函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1,2,则φ(A,B)>;
(2)存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
(3)设点A、B是抛物线,y=x2+1上不同的两点,则φ(A,B)≤2;
(4)设曲线y=ex上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1﹣x2=1,若t?φ(A,B)<1恒成立,则实数t的取值范围是(﹣∞,1);
以上正确命题的序号为 (写出所有正确的)
参考答案:
(2)(3)
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】由新定义,利用导数逐一求出函数y=x3﹣x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断(1)、(3);举例说明(2)正确;求出曲线y=ex上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的“弯曲度”,然后结合t?φ(A,B)<1得不等式,举反例说明(4)错误.
【解答】解:对于(1),由y=x3﹣x2+1,得y′=3x2﹣2x,
则,,
y1=1,y2=5,则,
φ(A,B)=,(1)错误;
对于(2),常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数,(2)正确;
对于(3),设A(x1,y1),B(x2,y2),y′=2x,
则kA﹣kB=2x1﹣2x2, =
=.
∴φ(A,B)==,(3)正确;
对于(4),由y=ex,得y′=ex,φ(A,B)==.
t?φ(A,B)<1恒成立,即恒成立,t=1时该式成立,∴(4)错误.
故答案为:(2)(3).
15. 设函数是定义在上的奇函数,若当时,,则满足的的取值范围是 ▲ .
参考答案:
16. 点P是曲线y=﹣x2上任意一点,则点P到直线y=x+2的最小距离为 .
参考答案:
略
17. 集合的子集的个数为 .
参考答案:
16
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知圆C:,是否存在斜率为1的
直线,使以被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由
参考答案:
. 或
略
19. 已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ)最大值1;最小值.
试题分析:(Ⅰ)根据导数的几何意义,先求斜率,再代入切线方程公式中即可;(Ⅱ)设,求,根据确定函数的单调性,根据单调性求函数的最大值为,从而可以知道恒成立,所以函数是单调递减函数,再根据单调性求最值.
试题解析:(Ⅰ)因为,所以.
又因为,所以曲线在点处的切线方程为.
(Ⅱ)设,则.
当时,,
所以在区间上单调递减.
所以对任意有,即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为,最小值为.
【名师点睛】这道导数题并不难,比一般意义上的压轴题要简单很多,第二问比较有特点的是需要两次求导数,因为通过不能直接判断函数的单调性,所以需要再求一次导数,设,再求,一般这时就可求得函数的零点,或是()恒成立,这样就能知道函数的单调性,再根据单调性求其最值,从而判断的单调性,最后求得结果.
20. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为E,过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交,其中一个交点为M(﹣,).
(I)求椭圆C的方程;
(II)设直线l与椭圆C交于不同的两点A,B.
(i)若直线l过定点(1,0),直线AE,BE的斜率为k1,k2(k1≠0,k2≠0),证明:k1?k2为定值;
(ii)若直线l的垂直平分线与x轴交于一点P,求点P的横坐标xp的取值范围.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
【分析】(I)由已知中椭圆通径的端点坐标,构造方程组,可得a,b的值,进而可得椭圆C的方程;
(II)经过点P(1,0)的直线l可设为x=my+1,
(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理,可得y1+y2=,y1y2=,由椭圆的右顶点为E(2,0),可得:k1?k2=?==,进而得到答案;
(ii)利用点差法,可得kAB=﹣?,故直线l的垂直平分线方程为:y﹣y0=(x﹣x0),令y=0,得P点横坐标,结合由H(x0,y0)在椭圆内部,可得答案.
【解答】解:(I)由已知中过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交,其中一个交点为M(﹣,).
可得:c=, =,a2﹣b2=c2,
解得:a=2,b=1,
∴椭圆C的方程为:;…3分
(II)设A(x1,y1),B(x2,y2)
证明:(i)∵直线l过定点(1,0),设x=my+1,
由得:(m2+4)y2+2my﹣3=0,…5分
∴y1+y2=,y1y2=,
∵右顶点为E(2,0),
∴k1?k2=?====﹣,
∴k1?k2为定值;…8分
(ii)将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程得:,
两式相减得:(x1﹣x2)(x1+x2)=﹣(y1﹣y2)(y1+y2)
∵直线l的垂直平分线与x轴交于一点P,
∴y1+y2≠0,x1﹣x2≠0,
∴﹣?==kAB,
设AB的中点H(x0,y0),则kAB=﹣?,
故直线l的垂直平分线方程为:y﹣y0=(x﹣x0),
令y=0,得P点横坐标为:…10分,
由H(x0,y0)在椭圆内部,可得:x0∈(﹣2,2),
故∈(﹣,)…12分
21. 在平面直角坐标系中,点P到两点,的距离之和等于4,动点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线