辽宁省大连市第五十一中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 命题“若a,b都是奇数,则是偶数”的逆否命题是( ).
A. 若两个整数a与b的和是偶数,则a,b都是奇数
B. 若两个整数a,b不都是奇数,则不是偶数
C. 若两个整数a与b的和不是偶数,则a,b都不是奇数
D. 若两个整数a与b的和不是偶数,则a,b不都是奇数
参考答案:
D
【分析】
根据逆否命题的概念,即可写出结果.
【详解】解:由逆否命题定义可知:
命题“,都是奇数,则是偶数”的逆否命题是:“若不是偶数,则,不都是奇数”.
故选D
【点睛】本题主要考查逆否命题,熟记四种命题间的关系即可,属于基础题型.
2. 已知,则“”是 “”的( )
A.必要而不充分条件 B.充要条件
C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
略
3. 若幂函数的图像不过原点,则实数m的取值范围为( )
A. B. 或
C. D.
参考答案:
B
4. 没a,b为实数,则“ ”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
5. 下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【知识点】利用导数研究函数的极值;函数奇偶性的性质
解析:由题可知,B、C选项不是奇函数,A选项单调递增(无极值),而D选项既为奇函数又存在极值.故选D.
【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件,即可得出结论.
6. 设是等差数列的前n项和,已知则等于 ( )
A.13 B.35 C.49 D.63
参考答案:
C
因为数列是等差数列,所以,所以选C.
7. 过点和的直线斜率为,那么的值为( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
参考答案:
A
8. (5分)已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=()x,x>1},则A∩B=()
A. {y|0<y<} B. {y|0<y<1} C. {y|<y<1} D. ?
参考答案:
A
考点: 交集及其运算.
专题: 计算题.
分析: 首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合A和B,然后再求两个集合的交集即可.
解答: ∵集合A={y|y=log2x,x>1},
∴A=(0,+∞)
∵B={y|y=()x,x>1},
∴B=(0,)
∴A∩B=(0,)
故选A.
点评: 本题考查了交集运算以及函数的至于问题,要注意集合中的自变量的取值范围,确定各自的值域.
9. 如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数n,那么空白框中的语句及最后输出的n值分别是
A. n=n+1和6 B. n=n+2和6 C. n=n+1和8 D. n=n+2和8
参考答案:
D
10. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为( )
A.20% 369 B.80% 369 C.40% 360 D.60% 365
参考答案:
A
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】设“衰分比”为a,甲衰分得b石,由题意列出方程组,由此能求出结果.
【解答】解:设“衰分比”为a,甲衰分得b石,
由题意得,
解得b=125,a=20%,m=369.
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列命题:
①函数内单调递增;
②函数的最小正周期为;
③函数的图形是关于直线成轴对称的图形;
④函数的图形是关于点成中心对称的图形.
其中正确命题有 .
参考答案:
答案:②④
12. 在(﹣4,4)上随机取一个数x,则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7成立”发生的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【分析】本题利用几何概型求概率.先解绝对值不等式,再利用解得的区间长度与区间(﹣4,4)的长度求比值即得.
【解答】解:利用几何概型,其测度为线段的长度.
由不等式|x﹣2|+|x+3|≥7可得
x≤﹣3,﹣x+2﹣x﹣3≥7,∴x≤﹣4;
﹣3<x<2,﹣x+2+x+3≥7,无解;
x≥2,x﹣2+x+3≥7,∴x≥3
故原不等式的解集为{x|x≤﹣4或x≥3},
∴在(﹣4,4)上随机取一个数x,则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7成立”发生的概率为P==.
故答案为.
13. 若,则f(x)的定义域为____________
参考答案:
【分析】
根据幂函数和对数函数的性质即可求得。
【详解】由题解得
【点睛】本题考查函数定义域,属于基础题。
14. 已知点A(4,0),抛物线C:y2=2px(0<p<4)的准线为l,点P在C上,作PH⊥l于H,且|PH|=|PA|,∠APH=120°,则p= .
参考答案:
.
【分析】由抛物线的定义可知:丨PH丨=x1+,根据三角形的性质,即可求得P点坐标,代入抛物线方程,即可求得p的值.
【解答】解:设P(x1,y1),故P做PD⊥OA,
则由|PH|=|PA|,∠APH=120°,则∠APD=30°,
由抛物线的定义可知:丨PH丨=x1+,
∴|PA|=x1+,丨AD丨=4﹣x1,
sin∠APD=,则x1=﹣,
则丨PD丨=丨AP丨cos∠APD=(+),
则P(﹣,(+)),将P代入抛物线方程,
整理得:5p2﹣48p+64=0,解得:p=,或p=8(舍去),
∴p的值,
故答案为:.
【点评】本题考查抛物线的定义及简单几何性质,三角形的性质,考查数形结合思想,属于中档题.
15. 在等腰直角△ABC中,,,M、N为AC边上两个动点,且满足,则的取值范围为________.
参考答案:
16. 已知、,且,, .
参考答案:
,所以,,所以。。因为,所以,所以,所以。
17. 已知椭圆与轴相切,左、右两个焦点分别为,则原点O到其左准线的距离为 ________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设数列的首项,且,记.
(1)求;
(2)证明:是等比数列;
(3)求数列的前项和.
参考答案:
(1)
------------------2分
(2)证明:
因为,所以
------------------5分
即,------------------6分
而,所以是以为首项,公比为的等比数列-----------7分
注:若没写,扣一分
(3),所以=
所以
--------8分
两式相减得:--------10分
即 --------12分
略
19. 在直角坐标系中,圆C1:x2+y2=1经过伸缩变换后得到曲线C2,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=.
(Ⅰ)求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)在C2上求一点M,是点M到直线l的距离最小,并求出最小距离.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【专题】综合题;转化思想;待定系数法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(Ⅰ)由后得到曲线C2,可得:,代入圆C1:x2+y2=1,化简可得曲线C2的直角坐标方程,将直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=化为:ρcosθ+ρsinθ=10,进而可得直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)将直线x+y﹣10=0平移与C2相切时,则第一象限内的切点M满足条件,联立方程求出M点的坐标,进而可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)∵后得到曲线C2,
∴,代入圆C1:x2+y2=1得:,
故曲线C2的直角坐标方程为;
直线l的极坐标方程为cosθ+sinθ=.
即ρcosθ+ρsinθ=10,即x+y﹣10=0,
(Ⅱ)将直线x+y﹣10=0平移与C2相切时,则第一象限内的切点M满足条件,
设过M的直线为x+y+C=0,
则由得:13x2+18Cx+9C2﹣36=0,
由△=(18C)2﹣4×13×(9C2﹣36)=0得:C=±,
故x=,或x=﹣,(舍去),
则y=,
即M点的坐标为(,),
则点M到直线l的距离d=
【点评】本题考查的知识点是简单的极坐标方程,直线与圆锥曲线的关系,难度中档.
20. (12分)(2014?黑龙江)设F1,F2分别是C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
参考答案:
【考点】椭圆的应用.
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.
【分析】(1)根据条件求出M的坐标,利用直线MN的斜率为,建立关于a,c的方程即可求C的离心率;
(2)根据直线MN在y轴上的截距为2,以及|MN|=5|F1N|,建立方程组关系,求出N的坐标,代入椭圆方程即可得到结论.
【解答】解:(1)∵M是C上一点且MF2与x轴垂直,
∴M的横坐标为c,当x=c时,y=,即M(c,),
若直线MN的斜率为,
即tan∠MF1F2=,
即b2==a2﹣c2,
即c2+﹣a2=0,
则,
即2e2+3e﹣2=0
解得e=或e=﹣2(舍去),
即e=.
(Ⅱ)由题意,原点O是F1F2的中点,则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,
设M(c,y),(y>0),
则,即,解得y=,
∵OD是△MF1F2的中位线,
∴=4,即b2=4a,
由|MN|=5|F1N|,
则|MF1|=4|F1N|,
解得|DF1|=2|F1N|,
即
设N(x1,y1),由题意知y1<0,
则(﹣c,﹣2)=2(x1+c,y1).
即,即
代入椭圆方程得,
将b2=4a代入得,
解得a=7,b=.
【点评】本题主要考查椭圆的性质,利用条件建立方程组,利用待定系数法是解决本题的关键,综合性较强,运算量较大,有一定的难度.
21. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数.
(Ⅰ)若,求实数x的取值范围;
(Ⅱ)设(),若g(x)的最小值为,求a的值.
参考答案:
(Ⅰ),即或或,
∴实数的取值范围是. ………………………5分
(Ⅱ)∵,∴,∴,
易知函数在时单调递减,在时单调递增,
∴.
∴,解得. ………………………10分
22. (本小题满分14分)某种商品的成本为5元/ 件,开始按8元/件销售,销售量为50件,为了获得最大利润,商家先后采取了