浙江省杭州市市清河中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (9)已知函数,,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C.
2. 已知中,内角,,所对的边长分别为,,,若,且, ,则的面积等于
. . . .
参考答案:
A
试题分析:根据正弦定理,可以求得,从而有,因为,所以,从而求得三角形是正三角形,所以面积,故选A.
考点:正弦定理,三角形的面积.
3. 若集合= ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
4.
设椭圆的两个根分别为在 ( )
A.圆内 B.圆上
C.圆外 D.以上三种情况都有可能
参考答案:
答案:A
5. i是虚数单位,若(3+i)(2+i)=a+bi(),则a—b 的值是
A.0 B.2 C.10 D.12
参考答案:
A
6. 若执行如图所示的程序框图,输出的值为4,则判断框中应填入的条件是
A. B. C. D.
参考答案:
C
本题考查程序框图.起初:;循环1次:;循环2次:;循环14次:,此时不满足条件,结束循环,输出4,即判断框中应填入的条件是.选C.
【备注】常考查循环结构的流程图,理解流程图的功能是关键.
7. 设双曲线的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为………………………………………………………………………………………( ).
. . .
参考答案:
8. 已知集合A={x|log2(x﹣1)<1},B={x|},则“x∈A”是“x∈B”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【分析】利用对数函数的单调性化简集合A,利用不等式的解法可得B,再利用简易逻辑的判定方法即可得出.
【解答】解:由log2(x﹣1)<1,可得0<x﹣1<2,解得1<x<3.
∴A=(1,3).
由<0,?(x+1)(x﹣3)<0,解得﹣1<x<3.∴B=(﹣1,3).
则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.
故选:A.
9. 用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义
A*B=。若A={1,2}
B=,且A*B=1,
设实数的所有可能取值集合是S,则C(S)=( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
参考答案:
B
略
10. 已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如上图所示, 估计这辆汽车在这段公路时速的众数是( )
A.60 B.65
C.60.5 D.70
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量满足,,,则向量在向量上的投影为 ;
参考答案:
-1
12. 定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,仍是等比数列,则称为“等比函数”。现有定义在上的如下函数:①;②;③;④,则其中是“等比函数”的的序号为 .
参考答案:
略
13. 若存在正数x使2x(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是( )
A. (﹣∞,+∞) B. (﹣2,+∞) C. (0,+∞) D. (﹣1,+∞)
参考答案:
D
略
14. 设等差数列满足,是数列的前n项和,则的最大值为
参考答案:
25
15. 某同学为研究函数 的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形和,点 是边上的一个动点,设,则. 请你参考这些 信息, 推知函数的极值点是 ;函数的值域是 .
参考答案:
略
16. 已知,,且,,则与的夹角为 .
参考答案:
略
17. 若正数满足,则的最大值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)如图,椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,过作与轴垂直的直线与椭圆交于,而与抛物线交于两点,且.(1)求椭圆的方程;(2)若过的直线与椭圆相交于两点和,设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),求实数的取值范围.
参考答案:
解⑴焦点,,
⑵ 即
设
得
即
.
19. 已知曲线C1的极坐标方程为,以极点O为直角坐标原点,以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy,将曲线C1向左平移2个单位长度,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变,得到曲线C2
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)已知直线l的参数方程为,(t为参数),点Q为曲线C2上的动点,求点Q到直线l距离的最大值.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)先化为,利用变换得即可;(2)
设,得求最大值即可
【详解】(1)由得,
所以曲线的方程为,
设曲线上任意一点,变换后对应的点为,
则 即
代入曲线的方程中,整理得,
所以曲线的直角坐标方程为;
(2)设,则到直线:的距离为,
其中为锐角,且,
当时,取得最大值为,
所以点到直线l距离的最大值为.
【点睛】本题考查极坐标与直角坐标互化,图像变换,点到直线距离,熟记图像变换原则,熟练计算点线距是关键,是中档题.
20. (本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:为参数),以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:=6.
(I)在曲线C上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值;
(Ⅱ)过点M(-1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A, B两点,求点M到A,B两点的距离之积.
参考答案:
解:(Ⅰ)直线l:化成普通方程为.
设点P的坐标为,则点P到直线l的距离为:
,
∴当时,点,
此时. …………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)曲线C化成普通方程为,即,
的参数方程为(t为参数)代入化简得,
得,所以. ………………………………………………(10分)
21. 为建立健全国家学生体质健康监测评价机制,激励学生积极参加身体锻炼,教育部印发《国家学生体质健康标准》,要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作,某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试(健康指数满分100分),并从中随机抽取了200名学生的数据,根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差(同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由频率分布直方图知,该市学生的健康指数X近似服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.
①求;
②已知该市高三学生约有10000名,记体质健康指数在区间的人数为,试求.
附:参考数据,
若随机变量服从正态分布,则,.
参考答案:
(1)75,135;(2)①;②.
【分析】
(1)以组中值代替小组平均值,根据加权平均数公式计算平均数,根据方差公式计算;
(2)①利用正态分布的性质求得;
②根据二项分布的期望公式得出.
【详解】(1)由频率分布直方图可知,各区间对应的频数分布表如下:
分值区间
频数
5
15
40
75
45
20
∴,
.
(2)①由(1)知服从正态分布,且,
∴.
②依题意,服从二项分布,即~,则.
【点睛】本题考查了正态分布的性质与应用,考查了二项分布的期望公式,考查了频率平均数与方差的运算,属于中档题.
22. 中,三个内角的对边分别为,若,,且.
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求周长的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)∵,则有,
∴
∴,
∴,∴.
(Ⅱ)根据余弦定理可知,∴,
又∵,∴,∴,
则周长的取值范围是.