江西省景德镇市鱼山中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 以下电路中,每个开关闭合的概率均为,且相互独立,则电灯亮的概率为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
2. 若命题“”为假,且“”为假,则
A.或为假 B.真 C.假 D.不能判断的真假
参考答案:
C
3. 设x∈R,定义符号函数sgnx=,则( )
A.|x|=x|sgnx| B.|x|=xsgn|x| C.|x|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx
参考答案:
D
【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】去掉绝对值符号,逐个比较即可.
【解答】解:对于选项A,右边=x|sgnx|=,而左边=|x|=,显然不正确;
对于选项B,右边=xsgn|x|=,而左边=|x|=,显然不正确;
对于选项C,右边=|x|sgnx=,而左边=|x|=,显然不正确;
对于选项D,右边=xsgnx=,而左边=|x|=,显然正确;
故选:D.
【点评】本题考查函数表达式的比较,正确去绝对值符号是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
4. 已知复数z在复平面内对应的点为(1,-2),(i 为虚数单位),则( )
A. 4 B. 2 C. 8 D.
参考答案:
D
【分析】
利用复数的几何意义及模长公式直接求解即可
【详解】由题,故
故选:D
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了计算能力,属于基础题.
5. 下列命题为真命题的是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
A
略
6. 对于抛物线C:,我们称满足条件的点M()在抛物线的内部,若点M()在抛物线C的内部,则直线与抛物线C ( )
A.一定没有公共点 B.恰有两个公共点 C.恰有一个公共点 D.有一个或两个公共点
参考答案:
A
7. 等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 如图F1、F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )
A. B. C.D.
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设|AF1|=x,|AF2|=y,利用椭圆的定义,四边形AF1BF2为矩形,可求出x,y的值,进而可得双曲线的几何量,即可求出双曲线的离心率.
【解答】解:设|AF1|=x,|AF2|=y,
∵点A为椭圆C1: +y2=1上的点,
∴2a=4,b=1,c=;
∴|AF1|+|AF2|=2a=4,即x+y=4;①
又四边形AF1BF2为矩形,
∴,
即x2+y2=(2c)2=12,②
由①②得x=2﹣,y=2+.
设双曲线C2的实轴长为2a′,焦距为2c′,
则2a′=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2,2c′=2,
∴C2的离心率是e==,
故选:D.
9. 设,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是( )
A.21 B.20 C.19 D.18
参考答案:
B
【考点】等差数列的前n项和.
【专题】计算题.
【分析】写出前n项和的函数解析式,再求此式的最值是最直观的思路,但注意n取正整数这一条件.
【解答】解:设{an}的公差为d,由题意得
a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105,即a1+2d=35,①
a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99,即a1+3d=33,②
由①②联立得a1=39,d=﹣2,
∴Sn=39n+×(﹣2)=﹣n2+40n=﹣(n﹣20)2+400,
故当n=20时,Sn达到最大值400.
故选:B.
【点评】求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题,但注意n取正整数这一条件.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 由曲线y=x2+2,x+y=4所围成的封闭图形的面积为________.
参考答案:
.
【分析】
先求出两曲线的交点坐标,确定被积函数以及被积区间,然后利用定积分公式可计算出所求区域的面积.
【详解】联立,得或,当时,可知,
因此,所求封闭区域的面积为
,故答案为:.
【点睛】本题考查定积分的几何意义,利用定积分计算曲边三角形的面积,解题的关键就是确定出被积函数以及被积区间,结合微积分基本定理进行计算,考查分析问题的能力和计算能力,属于中等题.
12. 命题“若,则圆过原点”的否命题是___________.
参考答案:
若,则圆不过原点
∵若则的否命题是若则,
所以“若,则圆过原点的否命题”是“若,则圆不过原点”.
10.椭圆的离心率是___________.
【答案】
【解析】将化为标准方程,
∴,,,
∴离心率.
13. 已知复数对应的点在x轴上方,则m的取值范围是
▲ .
参考答案:
m<3
复数在复平面上对应的点的坐标为,
如果该点落在轴上方,则有,解得.
14. 函数y=+lg(2x+1)的定义域是 .
参考答案:
{x|}
【考点】4K:对数函数的定义域;33:函数的定义域及其求法.
【分析】由分式分母中的根式内部的代数式大于0,对数式的真数大于0,联立不等式组求解x的取值集合即可得到函数的定义域.
【解答】解:要使函数有意义,则,解得.
∴函数y=+lg(2x+1)的定义域是{x|}.
故答案为:{x|}.
15. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)等于_______;表面积(单位:cm2)等于__________.
参考答案:
【分析】
先还原几何体,再根据柱体与锥体性质求体积与表面积.
【详解】几何体一个边长为2的正方体挖去一个正四棱锥(顶点在正方体下底面中心,底面为正方体上底面),因此几何体的体积为,表面积为
【点睛】本题考查三视图与柱体与锥体性质,考查空间想象能力与基本求解能力,属基础题.
16. 一个正三棱柱的三视图如右图所示,则该三棱柱的侧面积是 .
参考答案:
17. 设F为抛物线C:y=x2的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥y轴,则k= .
参考答案:
2
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】根据已知,结合抛物线的性质,求出P点坐标,再由反比例函数的性质,可得k值.
【解答】解:抛物线C:y=x2的焦点F为(0,1),
曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥y轴,得:P点纵坐标为1,
代入C得:P点横坐标为2,
故k=2,
故答案为2.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定。
(1)存在一个四边形,它的对角线互相垂直。
参考答案:
19. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,.
(1)求Sn;
(2)求数列的前n项和Tn.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)直接利用公式解方程得到答案.
(2)由(1)知,再利用裂项求和得到答案.
【详解】(1)设的公差为,则,∴,,
的前项和
(2)由(1)知,
∴的前项和
【点睛】本题考查了等差数列前项和,裂项求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
20. 已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于A,B两点
(1)若,求直线的斜率;
(2)设点在线段上运动,原点关于的对称点为,求四边形面积的最小值。
参考答案:
解:(1)依题意知,设直线AB的方程为,
联立 消x得:
①
又因为 ,所以 ②
联立①② 得 ,所以直线的斜率是 。 ………6分
(2)因为M是OC的中点,所以
因为
所以当时,四边形OACB的面积最小,最小值是4.………12分
略
21. 已知双曲线的渐近线方程为,焦距为10,求双曲线的标准方程。
参考答案:
略
22. 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点。
(Ⅰ)求证:AB1⊥面A1BD;
(Ⅱ)求平面AA1D与A1DB所成的角的余弦值;
(Ⅲ)求点C到平面A1BD的距离;
参考答案:
1.解答:解法一:(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,
平面.
连结,在正方形中,分别为
的中点,
,
.
在正方形中,,
平面.
(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由点到平面的距离为.
解法二:(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面,
平面.
取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,
,,.
,,
,.
平面.
略