浙江省温州市宏德中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 若集合,且,则集合Q不可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3.
某年级200名学生的一次数学质量测验成绩的频率分布直方图如图所示,则成绩不低于70分的学生人数是
(A)140 (B)14
(C)36 (D)68
参考答案:
A
4. 设定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),若f(3)=1,且3f(x)+xf′(x)>ln(x+1),则不等式(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0的解集为( )
A.(2014,+∞) B.(0,2014) C.(0,2020) D.(2020,+∞)
参考答案:
D
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题;导数的运算.
【分析】利用函数的可导性,构造函数g(x)=x3f(x),利用函数的单调性以及不等式,转化求解不等式的解集即可.
【解答】解:定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),3f(x)+xf′(x)>ln(x+1),
所以3x2f(x)+x3f′(x)>x2ln(x+1)>0(x>0),可得[x3f(x)]′>0,
所以函数g(x)=x3f(x)在(0,+∞)是增函数,
因为(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0,且f(3)=1,
所以(x﹣2017)3f(x﹣2017)>33f(3),即g(x﹣2017)>g(3),
所以x﹣2017>3,解得x>2020.
则不等式(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0的解集为:(2020,+∞).
故选:D.
【点评】本题考查函数的导数,不等式的解集,不等式恒成立问题存在性问题,考查转化思想以及计算能力.
5. 与105有大于1的公约数的两位自然数的和是( )
(A)2078 (B)2295 (C)2708 (D)3338
参考答案:
C
6. 已知O为坐标原点,A,B两点的坐标均满足不等式组,则的最大值等于
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
7. 已知点分别是双曲线的两个焦点,P为该曲线上一点,若为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 函数的值域为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 设则“函数在R上是增函数”是“函数在R上是增函数”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
D
当时,函数在R上为增函数,函数在R上不是增函数;当时,在上是增函数,在上不是增函数.
10. 由曲线xy=1,直线y=x,x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为( )
A. B. C. D.4﹣ln3
参考答案:
C
【考点】定积分在求面积中的应用.
【专题】计算题.
【分析】确定曲线交点的坐标,确定被积区间及被积函数,利用定积分表示面积,即可得到结论.
【解答】解:由xy=1得,
由得xD=1,
所以曲边四边形的面积为:
,
故选C.
【点评】本题考查面积的计算,解题的关键是确定曲线交点的坐标,确定被积区间及被积函数,利用定积分表示面积.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 ;
参考答案:
12. 已知实数x、y满足,则的取值范围为______.
参考答案:
【分析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可.
【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示,
联立,解得,得点.
则的几何意义是区域内的点与定点连线的斜率,
当直线从逆时针旋转至接近直线(不与直线重合)时,直线的倾斜角逐渐增大,且为钝角,此时,即;
当直线从逆时针旋转至直线时,直线的倾斜角从逐渐变大为锐角,此时.
综上所述,的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合直线的斜率公式以及利用数形结合是解决本题的关键,属于中等题.
13. 已知向量和的夹角为120°,,则= .
参考答案:
7
略
14. 给定抛物线C:y2=4x,过点A(-1,0),斜率为k的直线与C相交于M,N
两点,若线段MN的中点在直线x=3上,则k=________.
参考答案:
±
过点A(-1,0),斜率为k的直线为y=k(x+1),与抛物线方程联立后消掉y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),有x1+x1=,x1x2=1.因为线段MN的中点在直线x=3上,所以x1+x2=6,即=6,解得k=±.而此时k2x2+(2k2-4)x+k2=0的判别式大于零,所以k=±
15. 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[100,110),[110,120),[120,130)三组内的学生中,用分层抽样的方法选取28人参加一项活动,则从身高在[120,130)内的学生中选取的人数应为 .
参考答案:
12
【考点】频率分布直方图.
【分析】由频率分布直方图,先求出身高在[120,130)内的频率,再由分层抽样原理求出抽取的学生人数.
【解答】解:由频率分布直方图,得身高在[120,130)内的频率为:
1﹣(0.005+0.010+0.020+0.035)×10=0.3,
所以身高在[100,110),[110,120),[120,130)三组频率分别为0.05,0.35,0.3,
故三组的人数比为1:7:6;
∴用分层抽样的方法从三组选取28人参加一项活动,
从身高在[120,130)内的学生中抽取的人数应为:
28×=12.
故答案为:12.
16. 将参数方程(为参数,)化为普通方程,
所得方程是_____ _____.
参考答案:
()
略
17. 已知变量x,y满足约束条件,则目标函数:z= 3x -y的最大值是 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在[1000,1500) 单位:元)
(1)估计居民月收入在[1500,2000)的概率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)若将频率视为概率,从本地随机抽取3位居民(看作有放回的抽样),求月收入在[2500,3500)的居民数X的分布和数学期望。
参考答案:
解:
(Ⅰ)依题意及频率分布直方图知,居民月收入在的概率约为
. ……2分
(Ⅱ)频率分布直方图知,中位数在,设中位数为,则
,
解得. ……6分
(Ⅲ)居民月收入在的概率为.
由题意知,~, ……8分
因此,,
,,
故随机变量X的分布列为
0
1
2
3
0.216
0.432
0.288
0.064
……10分
的数学期望为.……12分
19. (12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
参考答案:
(1)∵
∵
∴
∵
∴
(2)由①知
∵
取AD中点O,
所以
∴
∴AO=2
∴
∴
=
20. 选修4—1:几何证明选讲
如图,已知切圆于点,是圆的直径,
交圆于点,是圆的切线,于,
,求的长.
参考答案:
21. 如图,三棱台ABC-EFG的底面是正三角形,平面ABC⊥平面BCGF,,.
(1)求证:;
(2)若△ABC和梯形BCGF的面积都等于,求三棱锥的体积.
参考答案:
(1)证明见解析;(2).
【分析】
(1)取的中点为,连结.先证明平面,再证明;(2)先求出,再求出梯形的高h,再利用求解.
【详解】(1)由是三棱台得,平面平面,
从而.
取的中点为,连结.
∵,∴,
∴四边形为平行四边形,∴.
∵,为中点,∴,∴.
∵平面平面,且交线为,平面,
∴平面,而平面,
∴.
(2)∵正三角形的面积为,
∴,.∴正三角形的面积.
∵梯形的面积等于,∴梯形的高.
∴.
【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明,考查空间几何体体积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22. (本题满分15分)设
(1) 当时,求函数的单调区间;
(2) 若当时,,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1) 函数的定义域是,易证:
当时,,
则
∴ 的单调递减区间是…………………………(6分)
(2) 由题得:
若,时,,即在是减函数
故此时恒成立…………………(3分)
若,时,设
则,则得,
即在上递增,在上递减
∴ 当时,
故此时,,不符合题意………………(3分)
若,时,
,不符合
综上所述:所求的的取值是 ………………(3分)
略