浙江省杭州市市萧山区第十中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数在处的切线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 已知等差数列的前13项之和为,则等于( )
A.—1 B. C. D.1
参考答案:
A
略
3. 在△ABC中,若BC=8,BC边上中线长为3,则( )
A.-7 B.7 C.-28 D.28
参考答案:
A
在中,设的中点为,则.
由题意知:.
则.
故选A.
4. 已知正方体 中,点P在线段 上,点Q在线段 上,且 , 给出下列结论:①A、C、P、Q四点共面;②直线PQ与 所成的角为 ;③ ;④ .D.其中正确结论的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
参考答案:
C
5. 的展开式中的系数为( )
A.25 B.5 C.-15 D.-20
参考答案:
C
6. 已知均为实数,“”是“直线与圆相切”的( )
(A)充要条件 (B)必要非充分条件
(C)充分非必要条件 (D)非充分非必要条件
参考答案:
C
略
7. (5)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,
数据的分组一次为
若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
D
8. 如图,阴影部分表示的集合是( )
参考答案:
D
9. 已知等比数列中, 等差数列中,,则数列的前9项和等于( )
A.9
B.18
C.36
D.72
参考答案:
B
考点:等比数列等差数列
试题解析:因为。所以,故答案为:B
10. 若,则等于
A. B.
C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的反函数为
参考答案:
本题考查反函数的求解,难度较小.由得,所以反函数
.
12. 若数列满足,,则 ;前5项的和 .
参考答案:
由,得数列是公比为2的等比数列,所以,。
13. 在区间[0,9]上随机取一实数x,则该实数x满足不等式的概率为__________.
参考答案:
14. 设、分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线的右支上,且,到直线的距离等于双曲线的实轴长,该双曲线的渐近线方程为 .
参考答案:
略
15. 若,则= .
参考答案:
略
16. 以椭圆的右焦点为焦点,且顶点在原点的抛物线标准方程为______.
参考答案:
略
17. 已知圆,若直线与圆相切,且切点在第二象限,则实数 .
参考答案:
试题分析:即.由已知, .解得,,由于切点在第二象限,所以.
考点:1.点到直线的距离公式;2.直线与圆的位置关系.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某校有教职工人,对他们进行年龄状况和受教育情况(只有本科和研究生两类)的调查,其结果如图:
(Ⅰ)随机抽取一人,是35岁以下的概率为,求的值;
(Ⅱ)从50岁以上的6人中随机抽取两人,求恰好只有一位是研究生的概率.
参考答案:
(Ⅰ)由已知得:,解得
故,即
(Ⅱ)将50岁以上的6人进行编号:四位本科生为:1,2,3,4,两位研究生为5,6。
从这6人中任取2人共有15种等可能发生的基本事件,分别为:
12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56]
其中恰好有一位研究生的有8种,分别为:15,16,25,26,35,36,45,46
故所求的概率为:
略
19. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品,(生产条件为),每一小时可获得利润是元.
(I)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围.
(II)要使生产90千克该产品获得的利润最大,甲厂应选取何种生产速度?并求此最大利润.
参考答案:
解:(I)依题题得
∴要使该产品2小时获利不低于3000元,x取值范围[3,10]
(II)设生产此产品获得利润为y元
当时(元)
甲厂应造生产速度为6千克/小时时获得最大利润45750元。
略
20. 如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,M是CE和AD的交点,AC⊥BC,且AC=BC.
(1)求证:AM⊥平面EBC;
(2)当AC=2时,求三棱锥V E﹣ABM的值.
参考答案:
考点:直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题:证明题;空间位置关系与距离.
分析:(1)先证AM⊥EC,又平面ACDE⊥平面ABC,BC⊥AC,可证BC⊥平面EAC,得BC⊥AM,即可证明AM⊥平面EBC;
(2)由AC=2,由棱锥体积公式,即可求=VB﹣AEM的值.
解答: 解:(1)证明:∵四边形ACDE是正方形,
∴AM⊥EC;
又∵平面ACDE⊥平面ABC,BC⊥AC,
∴BC⊥平面EAC;
∵AM?平面EAC,
∴BC⊥AM;
又EC∩BC=C,
∴AM⊥平面EBC;
(2)解:∵AC=2,
∴由(1)可得S△AME===1,
又∵由(1)可得BC⊥平面EAM,
∴由棱锥体积公式得VE﹣ABM=VB﹣AEM=S△AME×BC==.
点评:本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质,考查了棱柱、棱锥、棱台的体积的求法,属于中档题.
21. 已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)若对任意的都有恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
略
22. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程选讲
已知直线:(为参数,a为的倾斜角),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)若直线与曲线相切,求的值;
(2)设曲线上任意一点的直角坐标为,求的取值范围.
参考答案:
(1)曲线C的直角坐标方程为
即 曲线C为圆心为(3,0),半径为2的圆.
直线l的方程为: ………3分
∵直线l与曲线C相切 ∴
即 ………5分
∵ a?[0,π) ∴a= ………6分
(法二)①将化成直角坐标方程为……2分
由消去得 …………4分
∵ 与C相切 ∴ Δ=64-48=0 解得cosa=
∵ a?[0,π) ∴a= …………6分
(2)设
则 = ………9分
∴ 的取值范围是. ………10分