浙江省绍兴市东阳第二中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数(>0)的最小正周期为,则的一个单调递增区间为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如上图所示,该四棱锥侧面积和体积分别是( )
A. 8,8 B. C. D.
参考答案:
D
3. 直线与曲线相切,则b的值为( )
A.-2 B.-1 C.- D.1
参考答案:
B
4. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是
A. B. C. D.
参考答案:
A
由三视图可知,这个几何体是水平放置的直三棱柱,且底面是直角三角形。则。
5. 将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的x值是( )
A.3 B.4 C.6 D.8
参考答案:
D
考点:程序框图.
专题:算法和程序框图.
分析:执行程序框图,依次写出每次循环得到的s,k的值,当s=103时,不满足条件s<100,退出循环,x=8,输出x的值为8.
解答: 解:执行程序框图,可得
k=1,s=1
满足条件s<100,s=4,k=2;
满足条件s<100,s=22,k=3;
满足条件s<100,s=103,k=4;
不满足条件s<100,退出循环,x=8,输出x的值为8.
故选:D.
点评:本题主要考查了程序框图和算法,准确判断退出循环时k的值是解题的关键,属于基础题.
7. 若函数y=f(x)的图象与函数y=2x+1的图象关于y=x+1对称,则f(x)=( )
A.log2x B.log2(x-1)
C.log2(x+1) D.log2x-1
参考答案:
C
8. 等差数列中的是函数的极值点,则等于
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
【知识点】函数在某点取得极值的条件.B11
A 解析:.因为,是函数的极值点,所以,是方程的两实数根,则.而为等差数列,所以,即,从而,选A.
【思路点拨】利用导数即可得出函数的极值点,再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出.
9. 函数y=2x-x2的图象大致是 ( )
参考答案:
A
10. 将函数的图象向左平移个单位后,得到的图象可能为( )
参考答案:
D
试题分析:函数的图象向左平移个单位后得
,图象为D。故选D.
考点:三角函数的图象变换,函数的图象.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2和4,M、N分别为AB、CD的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:
①MN的最大值为5
②弦AB、CD可能相交于点M
③MN的最小值为1
④弦AB、CD可能相交于点N
其中真命题为 .
参考答案:
②
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据题意,由球的弦与直径的关系,判定选项的正误,然后回答该题.
【解答】解:因为直径是8,则①③④正确;
②错误.易求得M、N到球心O的距离分别为3、2,
若两弦交于N,则OM⊥MN,Rt△OMN中,有OM<ON,矛盾.
当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1.
故答案为②.
12. 的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中含项的系数为 .
参考答案:
-48
13. 如图为某商场一天营业额的扇形统计图,根据统计图你能得到服装鞋帽和百货日杂共售出 元.
参考答案:
29000
【考点】绘制统筹图的方法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用统计图,求出副食品的比例,然后求解服装鞋帽和百货日杂共售出的金额.
【解答】解:由题意可知:副食品的比例:10%.一天营业额为:5800元.
服装鞋帽和百货日杂共售出:5×5800=29000元.
故答案为:29000
【点评】本题考查统计图的应用,考查计算能力.
14. 已知是单位向量,.若向量满足________.
参考答案:
【知识点】平面向量的数量积及应用F3
【答案解析】[-1,+1].
由, 是单位向量, ? =0.可设 =(1,0), =(0,1),=(x,y)
∵向量满足|--|=1, ∴|(x-1,y-1)|=1,∴=1,
即(x-1)2+(y-1)2=1.其圆心C(1,1),半径r=1.∴|OC|=.
∴-1≤||=+1.∴||的取值范围是[-1,+1].
故答案为:[-1,+1].
【思路点拨】由, 是单位向量, ? =0.可设 =(1,0), =(0,1),=(x,y).由向量满足|--|=1,可得(x-1)2+(y-1)2=1.其圆心C(1,1),半径r=1.利用|OC|-r≤||= ≤|OC|+r即可得出.
15. 若命题“使”是假命题,则m的取值范围是 .
参考答案:
m>1
略
16. 动点在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动,则的取值范围是 .
参考答案:
略
17. 投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为,设,则满足的概率为____
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图8—3,已知ΔOFQ的面积为S,且.(1)若,求向量与的夹角θ的取值范围;(2)设,,若以O为中心,F为焦点的椭圆经过点Q,当取得最小值时,求此椭圆方程.
参考答案:
(1) (2)
19. (本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)若在上为增函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,方程有实根,求实数的最大值.
参考答案:
解:(I)因为函数在上为增函数,所以
在上恒成立
?当时,在上恒成立,
所以在上为增函数,故 符合题意
?当时,由函数的定义域可知,必须有对恒成立,故只能,所以在上恒成立
令函数,其对称轴为,因为,所以,要使在上恒成立,只要即可,
即,所以因为,所以.综上所述,a的取值范围为
20. 已知向量=(cosx,﹣1),=(sinx,﹣),函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数∴的图象经过点,b、a、c成等差数列,且?=9,求a的值.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算;余弦定理.
【分析】(1)利用向量的数量积化简函数的解析式,利用函数的周期以及正弦函数的单调区间求解即可.
(2)求出A,利用等差数列以及向量的数量积求出bc,通过三角形的面积以及余弦定理求解a即可.
【解答】解: ==,
(1)最小正周期:由得:,
所以f(x)的单调递增区间为:;
(2)由可得:所以,
又因为b,a,c成等差数列,所以2a=b+c,
而, ?=bccosA==9,∴bc=18,,
∴.
21. 已知
(1)将函数化简成(,,)的形式;
(2)若,且,求的值.
参考答案:
解(1)
=
⑵因为,由⑴有,即.
由,知.所以.
.
略
22. (本小题满分12分)
为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C万元与隔热层厚度cm满足关系:(,为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(I)求的值及的表达式;
(II)隔热层修建多厚时,总费用达到最小?并求最小值.
参考答案:
(Ⅰ)当时,,,
……………………6分
(Ⅱ)
设,.
当且仅当这时,因此的最小值为70.
即隔热层修建厚时,总费用达到最小,最小值为70万元.………12分