湖北省黄石市南湖中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（　　） A．4 B．2 C．4 D．8 参考答案： D 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L!：由三视图求面积、体积． 【分析】三视图复原的几何体是长方体的三分之二，依据三视图的数据，得出长方体长、宽、高，即可求出几何体的体积． 【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3， 所以这个几何体的体积是2×2×3=12， 长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的三分之二， 如图所示，则这个几何体的体积为12×=8． 故选D． 【点评】此题考查了棱柱的体积和表面积，由三视图判断几何体，考查三视图的读图能力，计算能力，空间想象能力． 2. 命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 参考答案： C 3. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（　　） A．  B．   C ．  D． 参考答案： C 4. 在公差为d的等差数列{an}中，“d＞1”是“{an}是递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据递增数列的性质结果充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若d＞1，则?n∈N*，an+1﹣an=d＞1＞0，所以，{an}是递增数列； 若{an}是递增数列，则?n∈N*，an+1﹣an=d＞0，推不出d＞1， 故“d＞1”是“{an}是递增数列”的充分不必要条件， 故选：A 5. 若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是(    ) A.[,]                                       B.[,3] C.[-1,]                                             D.[,3] 参考答案： D 6. 为了得到函数y＝2sin2x的图象，可将函数y＝4sin·cos的图象(    ) A．向右平移个单位         B．向左平移个单位 C．向右平移个单位         D．向左平移个单位 参考答案： C 略 7. 已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0相交，则圆C1与圆C2的公共弦长为（　　） A． B． C．    D．5 参考答案： C 8. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 参考答案： B 【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合；K8：抛物线的简单性质． 【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可． 【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2， |DE|=2，|DN|=，|ON|=， xA==， |OD|=|OA|， =+5， 解得：p=4． C的焦点到准线的距离为：4． 故选：B． 9. 复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1?i C. ?1+i D. ?1?i 参考答案： B 分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得． 详解：化简可得z= ∴z的共轭复数为1﹣i. 故选：B． 点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题． 10. 已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形， 是菱形，则(    ) A.              B.           C.        D. 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设双曲线的实轴长为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为           . 参考答案： 12. 已知集合A={0，1}，B={y|x2+y2=1，x∈A}，则A∪B=　     　，?BA的子集个数是　    　． 参考答案： {﹣1，0，1}，2． 【考点】1H：交、并、补集的混合运算． 【分析】分别求出集合A，B，由此能求出A∪B，?BA={﹣1}，进而能求出?BA的子集个数． 【解答】解：∵集合A={0，1}，B={y|x2+y2=1，x∈A}={0，﹣1，1}， ∴A∪B={﹣1，0，1}， ?BA={﹣1}， ∴?BA的子集个数是2． 故答案为：{﹣1，0，1}，2． 13. 在直角坐标系xoy中，已知曲线M:（t为参数）与曲线N：（为参数）相交于两个点A，B，则线段AB的长为___________  参考答案： 2 14. 从这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为            ． 参考答案： 15. “渐减数”是指每个数字比其左边数字小的正整数(如98765)，若把所有的五位渐减数按从小到大的顺序排列，则第20个数为         ． 参考答案： 65431 略 16. 设二项式的展开式中的常数项为               ． 参考答案： 或 或 略 17. 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积为______; 参考答案： ，提示：可把正四面体变为正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为于是球的半径为， 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题12分）已知函数，，其中． （1）若是函数的极值点，求实数的值； （2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围． 参考答案：   略 19. （本小题12分）已知函数=（x+1）Inx-x+1. (1)若≤+ax+1，求a的取值范围； (2)证明：（x-1）≥0 参考答案： （1）；（2）略. 20. 若函数f（x）=ax﹣+c（a，b，c∈R）的图象经过点（1，0），且在x=2处的切线方程是y=﹣x+3． （Ⅰ）确定f（x）的解析式； （Ⅱ）求f（x）的极值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b，c的方程组，解出即可； （Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=a+， 将x=2代入y=﹣x+3中，得y=﹣2+3=1， 由题意知，即，解得：a=﹣3，b=8，c=11， 因此f（x）=﹣3x﹣+11，x≠0                           （Ⅱ） 由f′（x）=﹣3+=0得，x=±， 当x∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）时，f′（x）＜0； 当x∈（﹣，0）∪（0，）时，f′（x）＞0， 所以f（x）的极小值是f（﹣）=11+4，f（x）的极大值是f（）=11﹣4． 21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点． （1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值． （2）求B点到平面PCD的距离． （3）线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角． 【分析】（1）先证明直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直，可得PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，确定平面POC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线PB与平面POC所成角的余弦值． （2）求出平面PDC的法向量，利用距离公式，可求B点到平面PCD的距离． （3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1），求出平面CAQ的法向量、平面CAD的法向量=（0，0，1），根据二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，利用向量的夹角公式，即可求得结论． 【解答】解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD， 又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD． 又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD； 所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系． 则P（0，0，1），A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）； 所以，易证：OA⊥平面POC， 所以，平面POC的法向量， 所以PB与平面POC所成角的余弦值为        …． （2），设平面PDC的法向量为， 则，取z=1得 B点到平面PCD的距离…． （3）假设存在，则设=λ（0＜λ＜1） 因为=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）． 设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则， 所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1）， 平面CAD的法向量=（0，0，1）， 因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为， 所以=， 所以3λ2﹣10λ+3=0． 所以λ=或λ=3（舍去）， 所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 　 22. 已知直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点为P． （Ⅰ）求交点P的坐标； （Ⅱ）求过点P且平行于直线l3：x﹣2y﹣1=0的直线方程； （Ⅲ）求过点P且垂直于直线l3：x﹣2y﹣1=0直线方程． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标． 【专题】计算题． 【分析】（Ⅰ）联立两直线的方程，得到一个关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到交点P的坐标； （Ⅱ）根据两直线平行时，斜率相等，由直线l3的斜率设出所求直线的方程为x﹣2y+m=0，把第一问求出的P的坐标代入即可确定出m的值，进而确定出所求直线的方程； （Ⅲ）根据两直线垂直时，斜率的乘积为﹣1，由直线l3的斜率求出所求直线的斜率，设出所求直线的方程，把P的坐标代入即可确定出所求直线的方程． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由，解得， 所以点P的坐标是（﹣2，2）；                         …   （Ⅱ）因为所求直线与l3平行， 所以设所求直线的方程为 x﹣2y+m=0． 把点P的坐标代入得﹣2﹣2×2+m=0，得m=6． 故所求直线的方程为x﹣2y+6=0；                  …   （Ⅲ）因为所求直线与l3垂直， 所以设所求直线的方程为 2x+y+n=0． 把点P的坐标代入得 2×（﹣2）+2+n=0，得n=2． 故所求直线的方程为 2x+y+2=0．                    … 【点评】此题考查了直线的一般式方程，以及两直线的交点坐标，两直线方程的交点坐标的求法为：联立两直线的解析式组成方程组，求出方程组的解可得交点坐标，同时要求学生掌握两直线平行及垂直时斜率满足的关系．