河北省唐山市滦南县方各庄中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 圆锥的侧面展开图是一个半圆,则圆锥轴截面的顶角的大小为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 不等式3x+2y﹣6≤0表示的区域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.
【分析】作出3x+2y﹣6=0,找点判断可得.
【解答】解:可判原点适合不等式3x+2y﹣6≤0,
故不等式3x+2y﹣6≤0所表示的平面区域为直线3x+2y﹣6=0的左下方,
故选:D.
3. 双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 已知点F1,F2分别是椭圆C: +=1(a>b>0)的焦点,点B是短轴顶点,直线BF2与椭圆C相交于另一点D.若△F1BD是等腰三角形,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意画出图形,结合已知求出|DF1|、|DF2|,再由余弦定理列式求得答案.
【解答】解:如图,由椭圆定义可得:|DF1|+|DF2|=2a,∵△F1BD是等腰三角形,
∴|DF1|=|DB|=|DF2|+|BF2|,解得|DF2|=,|DF1|=.
又|BF1|=a,
∴cos∠F1DF2=,
又cos∠F1DF2=,
∴,化简得:a2=3c2,得.
故选:B.
5. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱有( )条
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
参考答案:
C
6. 假如今年省运会给岭师附中高中三个年级7个自主推荐的志愿者名额,则每个年级至少分到一个名额的方法数为( )
A.10 B.15 C.21 D.30
参考答案:
B
7. 对于函数,若存在区间,使得,则称区间为函数的一个“稳定区间”.现有四个函数:
①; ②, ③ ④.其中存在“稳定区间”的函数有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
参考答案:
B
略
8. 若,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 如果方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( )
A.2 B.2 C.2 D.4
参考答案:
C
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】根据抛物线方程,算出焦点F坐标为().设P(m,n),由抛物线的定义结合|PF|=4,算出m=3,从而得到n=,得到△POF的边OF上的高等于2,最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积.
【解答】解:∵抛物线C的方程为y2=4x
∴2p=4,可得=,得焦点F()
设P(m,n)
根据抛物线的定义,得|PF|=m+=4,
即m+=4,解得m=3
∵点P在抛物线C上,得n2=4×3=24
∴n==
∵|OF|=
∴△POF的面积为S=|OF|×|n|==2
故选:C
【点评】本题给出抛物线C:y2=4x上与焦点F的距离为4的点P,求△POF的面积.着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.
参考答案:
12. 用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数,要求数字4不出现在首位和末位,数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻,则满足条件的不同五位数的个数是 .(注:结果请用数字作答)
参考答案:
48
【考点】排列、组合及简单计数问题.
【分析】对数字4分类讨论,结合数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻,利用分类计数原理,即可得出结论.
【解答】解:数字4出现在第2位时,数字1,3,5中相邻的数字出现在第3,4位或者4,5位,共有C32A22A22=12个,
数字2出现在第4位时,同理也有12个;
数字4出现在第3位时,数字1,3,5中相邻的数字出现在第1,2位或第4,5位,共有C21C32A22A22=24个,
故满足条件的不同五位数的个数是48.
故答案为:48.
【点评】本题考查分类计数原理,考查排列、组合知识,考查学生的计算能力,属于中档题.
13. 复数的共轭复数是(),是虚数单位,则的值是 .
参考答案:
7;
14. 若>3,则函数=在(0,2)内恰有________个零点.
参考答案:
1
略
15. 设集合A=,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A∩B≠,则实数m的取值范围是________.
参考答案:
16. 若等边的边长为,平面内一点满足, 则_________
参考答案:
2
17. 如图,切圆O于点,割线经过圆心,弦于点。已知圆O的半径为3,,则 , 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xoy中,直线的参数方程为(t为参数)。在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为。
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆C与直线交于点A、B,若点P的坐标为,求|PA|+|PB|。
参考答案:
解:(Ⅰ)由得即
(Ⅱ)将的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得,
即由于,故可设是上述方程的两实根,
所以故由上式及t的几何意义得:
|PA|+|PB|==。Ks5u
略
19. (本小题10分)
已知椭圆的方程为。
(1)求椭圆的焦点坐标及离心率;
(2)求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程。
参考答案:
(1)F1(0,)、F2(0,) ………………6分
(2)………………10分
略
20. 若、是两个不共线的非零向量,
(1)若与起点相同,则实数t为何值时,、t、三个向量的终点A,B,C在一直线上?
(2)若||=||,且与夹角为60°,则实数t为何值时,||的值最小?
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用.
【分析】(1)由三点A,B,C共线,必存在一个常数t使得,由此等式建立起关于λ,t的方程求出t的值;
(2)由题设条件,可以把||的平方表示成关于实数t的函数,根据所得的函数判断出它取出最小值时的x的值.
【解答】解:(1),,
∵,即
∴,可得∴;
故存在t=时,A、B、C三点共线;
(2)设||=||=k
||2=||2+t2||2﹣2t||||cos60°=k2(t2﹣t+1)=k2(t﹣)2+,
∴时,||的值最小.
21. (1)解不等式:.
(2)已知x,y,z均为正数.求证:
参考答案:
(1);(2)证明见解析
【分析】
(1)分别在、、三个范围内去掉绝对值符号得到不等式,解不等式求得结果;(2)将所证结论变为证明,利用基本不等式可证得结论.
【详解】(1)当时,,解得:
当时,,无解
当时,,解得:
不等式的解集为:
(2)均为正数
要证,只需证:
即证:
,,
三式相加可得:(当且仅当时取等号)
成立
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用基本不等式证明不等关系的问题,考查分类讨论的思想、分析法证明不等式和基本不等式的应用,属于常考题型.
22. 已知函数f(x)=|2x﹣1|﹣|x﹣2|.
(1)作出函数y=f(x)的图象;
(2)解不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|>1.
参考答案:
【考点】函数的图象;绝对值不等式的解法.
【分析】(1)利用绝对值的几何意义,将函数写出分段函数,即可得到函数的图象;
(2)结合函数的图象,及函数的解析式,即可得到结论.
【解答】解:(1)f(x)=,图象如图所示
﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)当x<时,原不等式可化为﹣x﹣1>1,解得:x<﹣2,
∴x<﹣2;
当≤x<2时,原不等式可化为3x﹣3>1,解得:x>,
∴<x<2;
当x≥2时,原不等式可化为x+1>1,解得:x>0,
∴x≥2﹣﹣﹣
综上所述,原不等式的解集为(﹣∞,﹣2)∪(,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣