福建省福州市第二十九中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若为钝角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
2. 已知直线与圆R有交点, 则
的最小值是 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 设,将这五个数据依次输入下面程序框进行计算,则输出的值及其统计意义分别是
A.,即个数据的方差为 B.,即个数据的标准差为
C.,即个数据的方差为 D.,即个数据的标准差为
参考答案:
C
略
4. 双曲线的实轴长是( )
A 2 B C 4 D
参考答案:
C
5. 曲线在点(1,1)处的切线方程为
A. 4x-3y-l=0 B. 3x-2y-l=0
C.4x- y-3=0 D.x-y=0
参考答案:
C
6. 若 , 则有 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(﹣3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(﹣3,0)∪(3,+∞) B.(﹣3,0)∪(0,3)
C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
参考答案:
D
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】先根据f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0可确定[f(x)g(x)]'>0,进而可得到f(x)g(x)在x<0时递增,结合函数f(x)与g(x)的奇偶性可确定f(x)g(x)在x>0时也是增函数,最后根据g(﹣3)=0可求得答案.
【解答】解:设F(x)=f (x)g(x),当x<0时,
∵F′(x)=f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0.
∴F(x)在当x<0时为增函数.
∵F(﹣x)=f (﹣x)g (﹣x)=﹣f (x)?g (x)=﹣F(x).
故F(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
∴F(x)在(0,+∞)上亦为增函数.
已知g(﹣3)=0,必有F(﹣3)=F(3)=0.
构造如图的F(x)的图象,可知
F(x)<0的解集为x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3).
故选D
8. 已知点P(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取最小值时,过点P(x,y)引圆C:的切线,则此切线长等于( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
由于点P(x,y)在直线x+2y=3上移动,得x,y满足x+2y=3,又2x+4y=2x+22y≥2=4,取得最小值时x=2y,此时点P的坐标为.由于点P到圆心C,的距离为d= =,而圆C的半径为r=,则切线长为= =,故选C.
9. 从装有两个红球和两个黑球的袋里任取两个球,则互斥而不对立的两个事件是 ( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
参考答案:
C
10. 某西方国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的,是因为( )
A. 大前提错误 B. 推理形式错误
C. 小前提错误 D. 非以上错误
参考答案:
B
【分析】
根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提,以及大小前提的关系,根据小前提不是大前提下的特殊情况,可知推理形式错误.
【详解】大前提:“鹅吃白菜”,不是全称命题,大前提本身正确,
小前提:“参议员先生也吃白菜”本身也正确,但不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能进行类比,
所以不符合三段论的推理形式,可知推理形式错误.
本题正确选项:
【点睛】本题考查三段论推理形式的判断,关键是明确大小前提的具体要求,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 直线(为参数,为常数)恒过定点 ▲ .
参考答案:
12. 集合A={},B={}.若A∩B有且只有一个元素,则实数a的值为______
参考答案:
0或-2
略
13. 函数的导函数为,若对于定义域内任意,,有恒成立,则称为恒均变函数.给出下列函数:①;②;③;④;⑤.其中为恒均变函数的序号是 .(写出所有满足条件的函数的序号)
参考答案:
①②
14. 已知曲线C:,直线过与曲线C相切,则直线的方程是 。
参考答案:
或
略
15. 函数,若<2恒成立的充分条件是,则实数的取值范围是 .
参考答案:
1<<4
解析:依题意知,时,<2恒成立.
所以时,-2<<2恒成立,即<<恒成立.
由于时,=的最大值为3,最小值为2,
因此,3-2<<2+2,即1<<4.
16. 若,则的值为 .
参考答案:
84
由题可得: ,
故根据二项式定理可知:
17. 直线y=2b与双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左支、右支分别交于B,C两点,A为右顶点,O为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则该双曲线的离心率为 .
参考答案:
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】利用条件得出∠AOC=60°,C(b,2b),代入双曲线﹣=1,可得﹣4=1,b=a,即可得出结论.
【解答】解:∵∠AOC=∠BOC,
∴∠AOC=60°,
∴C(b,2b),
代入双曲线﹣=1,可得﹣4=1,∴b=a,
∴c==a,
∴e==,
故答案为.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AP=AB=,AC=4,D为PC的中点,PB⊥AD.
(1)证明:BC⊥AB;
(2)求二面角B—AD—C大小的正切值.
参考答案:
(1)略(2)
19. 设f(x)=x2﹣2ax+2(a∈R),当x∈[﹣1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题.
【分析】区分图象的对称轴与区间[﹣1,+∞)的关系,根据二次函数在对称轴两边的单调性,求最小值即可.
【解答】解:f(x)=x2﹣2ax+2=(x﹣a)2+2﹣a2
f(x)图象的对称轴为x=a
为使f(x)≥a在[﹣1,+∞)上恒成立,
只需f(x)在[﹣1,+∞)上的最小值比a大或等于a即可
∴(1)a≤﹣1时,f(﹣1)最小,解,解得﹣3≤a≤﹣1
(2)a≥﹣1时,f(a)最小,解
解得﹣1≤a≤1
综上所述﹣3≤a≤1
20. 已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当< 时,求实数取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)由题意知, 所以.
即.····························· 2分
又因为,所以,.
故椭圆的方程为.···················· 4分
(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在.
设:,,,,
由得.
,.··············· 6分
,.
∵,∴,,
.
∵点在椭圆上,∴,
∴.·························· 8分
∵<,∴,∴
∴,
∴,∴.················· 10分
∴,∵,∴,
∴或,
略
21. 已知函数f (x),当x、y∈R时,恒有f (x) - f (y) = f (x-y).
(Ⅰ)求证:f (x)是奇函数;
(Ⅱ)如果x<0时,f (x)>0,并且f (2) =-1,试求f (x)在区间[–2,6]上的最值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意x∈[-2,6],不等式f(x)>m2+am-5对任意a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)证明:∵当x、y∈R时,恒有f (x) - f (y) = f (x-y)
∴ f (0) - f (0) = f (0-0)
即f (0)=0 ………………………………………2分
∴f (0) - f (x) = f (0-x)
即- f (x) = f (-x)
所以f (x)是奇函数; …………………………………5分
(Ⅱ)设
则……………………………………7分
∵ ∴
∴ 即
故,函数f(x)在R上单调递减 …………………………………………8分
所以,函数f(x)在[-2,6]上单调递减
故,
……………………10分
(Ⅲ)∵ 对任意x∈[-2,6],不等式f(x)>m2+am-5恒成立
∴ m2+am-5<………………………………………12分
即m2+am-2<0
∵ 对任意a∈[-1,1],不等式m2+am-2<0恒成立
∴
解得,实数m的取值范围-1<m<1.………………………………14分
22. 已知为等差数列的前项和,已知,.
(1)求数列的通项公式和前项和;
(2)是否存在,使,,成等差数列,若存在,求出,若不存在,说明理由.
参考答案:
(l)设的公差为.则∴
∴
(2),
,
.
若存在,使,,成等差数列,
则,∴,
∴存在,使,,成等差数列.