湖南省怀化市黔城中学高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使在C塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔高AB的高度为( )
A.10 B.10 C.10 D.10
参考答案:
D
【考点】解三角形的实际应用.
【专题】计算题;解三角形.
【分析】先在△ABC中求出BC,再△BCD中利用正弦定理,即可求得结论.
【解答】解:设塔高AB为x米,根据题意可知在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x,从而有BC=x,AC=x
在△BCD中,CD=10,∠BCD=60°+30°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30°
由正弦定理可得, =
∴BC==10
∴x=10
∴x=
故塔高AB=
【点评】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用,解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题,属于中档题.
2. 已知点,则线段的垂直平分线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( )
A.100 B.200 C.300 D.400
参考答案:
B
【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;CN:二项分布与n次独立重复试验的模型.
【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,即不发芽率为0.1,故没有发芽的种子数ξ服从二项分布,即ξ~B.又没发芽的补种2个,故补种的种子数记为X=2ξ,根据二项分布的期望公式即可求出结果.
【解答】解:由题意可知播种了1000粒,没有发芽的种子数ξ服从二项分布,即ξ~B.
而每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X
故X=2ξ,则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200.
故选B.
4. 已知点A(0,2),抛物线的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若,则p的值等于( )
A. B. 2 C.4 D.8
参考答案:
B
5. 在棱锥P﹣ABC中,侧棱PA、PB、PC两两垂直,Q为底面△ABC内一点,若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5,则以线段PQ为直径的球的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】球的体积和表面积.
【分析】根据题意,点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体,分析可知以PQ为直径的球是它的外接球,再由长方体和其外接球的关系求解.
【解答】解:根据题意:点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体,
则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线.
∴2r==5,
∴r=,
由球的体积公式得:S=πr3=π.
故选B.
【点评】本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系,确定外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线是关键.
6. 如表是某厂节能降耗技术改造后,在生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据:
x
3
4
5
6
y
2.5
3
m
4.5
若根据如表提供的数据,用最小二乘法可求得对的回归直线方程是,则表中的值为( )
A. 4 B.4.5 C. 3 D.3.5
参考答案:
A
7. 已知方程的图象是双曲线,那么k的取值范围是( )
A. B. C.或 D.
参考答案:
C
略
8. 变量满足约束条件,则目标函数的最小值( )
A.2 B.4 C.1 D.3
参考答案:
D
9. 已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则的最小值为( )
A. B. C. D.不存在
参考答案:
A
【考点】等比数列的通项公式;基本不等式.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】把所给的数列的三项之间的关系,写出用第五项和公比来表示的形式,求出公比的值,整理所给的条件,写出m,n之间的关系,用基本不等式得到最小值.
【解答】解:∵a7=a6+2a5,
∴a5q2=a5q+2a5,
∴q2﹣q﹣2=0,
∴q=2,
∵存在两项am,an使得=4a1,
∴aman=16a12,
∴qm+n﹣2=16,
∴m+n=6
∴=(m+n)()=
故选A
【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式,实际上应用基本不等式是本题的重点和难点,注意当两个数字的和是定值,要求两个变量的倒数之和的最小值时,要乘以两个数字之和.
10. 下列命题错误的是( )
A.命题“若,则方程有实数根”的逆否命题为:“若方程 无实数根,则”.
B.“x =1”是“”的充分不必要条件.
C.对于命题p:使得,则均有。
D.若为假命题,则p ,q均为假命题.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线在点处的切线方程为 ▲ .
参考答案:
略
12. 有一个底面圆的半径为1,高为3的圆柱,点O1,O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O1,O2的距离都大于1的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【分析】本题利用几何概型求解.先根据到点的距离等于1的点构成图象特征,求出其体积,最后利用体积比即可得点P到点O1,O2的距离都大于1的概率.
【解答】解:∵到点O1的距离等于1的点构成一个半个球面,到点O2的距离等于1的点构成一个半个球面,两个半球构成一个整球,如图,
点P到点O1,O2的距离都大于1的概率为:
P====,
故答案为:.
13. 已知三棱柱,底面是边长为10的正三角形,侧棱垂直于底面,且,过底面一边,作与底面成角的截面面积是_________.
参考答案:
略
14. 以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为_____.
参考答案:
【分析】
本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标,然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标,最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程。
【详解】由双曲线的相关性质可知,双曲线的焦点为,顶点为,
所以椭圆的顶点为,焦点为,
因为,所以椭圆方程为,
故答案为。
【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质,主要考查椭圆、双曲线的几何性质,考查椭圆的标准方程,正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键.
15. 椭圆的焦点坐标为________.
参考答案:
试题分析:由题意得,椭圆,可化为,所以,所以椭圆的焦点坐标分别为.
考点:椭圆的标准方程及其几何性质.
16. 给出下列函数:
①y=x+;
②y=lgx+logx10(x>0,x≠1);
③y=sinx+(0<x≤);
④y=;
⑤y=(x+)(x>2).
其中最小值为2的函数序号是 .
参考答案:
③⑤
【考点】函数的最值及其几何意义.
【分析】运用分类讨论可判断①②不成立;由函数的单调性可知④不成立;运用正弦函数的单调性可得③对;由x﹣2>0,运用基本不等式可知⑤对.
【解答】解:①y=x+,当x>0时,y有最小值2;x<0时,有最大值﹣2;
②y=lgx+logx10(x>0,x≠1),x>1时,有最小值2;0<x<1时,有最大值﹣2;
③y=sinx+(0<x≤),t=sinx(0<t≤1),y=t+≥2=2,x=最小值取得2,成立;
④y==+,t=(t≥),y=t+递增,t=时,取得最小值;
⑤y=(x+)(x>2)=(x﹣2++2)≥(2+2)=2,x=3时,取得最小值2.
故答案为:③⑤.
17. 已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则a5 = _____
参考答案:
15
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 定义在[﹣1,1]上的奇函数f(x)满足f(1)=2,且当a,b∈[﹣1,1],a+b≠0时,有.
(1)试问函数f(x)的图象上是否存在两个不同的点A,B,使直线AB恰好与y轴垂直,若存在,求出A,B两点的坐标;若不存在,请说明理由并加以证明.
(2)若对所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
解:(1)假设函数f(x)的图象上存在两个不同的点A,B,使直线AB恰好与y轴垂直,
则A、B两点的纵坐标相同,设它们的横坐标分别为 x1 和x2,且x1<x2.
则f(x1)﹣f(x2)=f(x1 )+f(﹣x2)=[x1+(﹣x2)].
由于 >0,且[x1+(﹣x2)]<0,∴f(x1)﹣f(x2)<0,
故函数f(x)在[﹣1,1]上是增函数.
这与假设矛盾,故假设不成立,即 函数f(x)的图象上不存在两个不同的点A,B,使直线AB恰好与y轴垂直.
(2)由于 对所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,
∴故函数f(x)的最大值小于或等于2(m2+2am+1).
由于由(1)可得,函数f(x)是[﹣1,1]的增函数,故函数f(x)的最大值为f(1)=2,
∴2(m2+2am+1)≥2,即 m2+2am≥0.
令关于a的一次函数g(a)=m2+2am,则有 ,
解得 m≤﹣2,或m≥2,或 m=0,故所求的m的范围是{m|m≤﹣2,或m≥2,或 m=0}.
略
19. 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中a的值;
(Ⅱ)若该市有110万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,请说明理由;
(Ⅲ)若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值(精确到0.01),并说明理由.
参考答案:
【考点】频率分布直方图.
【分析】(Ⅰ)由概率统计相关知识,各组频率和为1,列出方程求出a的值;
(Ⅱ)由图计算不低于3吨的频率和频数即可;
(Ⅲ)由图计算月均用水量小于2.5吨的频率和月均用水量小于3吨的频率,
假设月均用水量平均分布,由此求出x的值.
【解答】解:(Ⅰ)由概率统计相关知识,各组频率和为1,
即0.5×(0.08+0.16+0.3+a+0.52+0.3+0.12+0.08+0.04)=1,
解得a=0.4;…
(Ⅱ)由图知,不低于3吨的人数所占比例为
0.5×(0.12+0.08+0.04)=0.12,
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为
110×0.12=13.2(万);…
(Ⅲ)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占比例为
0.5×(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52)=0.73,…
即73%的居民月均用水量