湖北省荆州市石首光明中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 将函数的图像向右平移个单位后,所得函数图像关于原点对称,则的取值可能为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
依题意,,故向右平移个单位后,得到,故,则,观察可知,故选A.
2. 若是上的减函数,且的图象过点和,则不等式的解集是( )
A. B. C.(0,3) D.(1,4)
参考答案:
B
略
3. 若函数则f(f(10))=( )
(A)lg 101 (B)2 (C)1 (D)0
参考答案:
B
略
4. 下列给出的四个命题中,说法正确的是( )
A.命题“若,则”的否命题是“若,则”;
B.“”是“”的必要不充分条件;
C.命题“存在,使得”的否定是“对任意,均有”;
D.命题“若,则”的逆否命题为真.
参考答案:
D
略
5. 己知命题p: “关于x的方程有实根”,若非p为真命题的充分不必要条件为,则实数m的取值范围是( )
A.(1,+∞) B. [1,+∞) C. (-∞,1) D. (-∞,1]
参考答案:
A
6. 若函数在R上的最大值是3,则实数m=
A.-6 B. -5 C. -3 D. -2
参考答案:
C
因为
所以函数在上的最大值是故选C.
7. 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中的值等于
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
C
略
8. 若复数z满足(2+i)z=5(其中i为虚数单位),则z的共轭复数对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
A
9.
在二面角的两个面内,分别有直线a,b,它们与棱l都不垂直,则
( )
A.当该二面角是直二面角时,可能a//b,也可能a⊥b
B.当该二面角是直二面角时,可能a//b,但不可能a⊥b
C.当该二面角不是直二面角时,可能a//b,但不可能a⊥b
D.当该二面角不是直二面角时,不可能a//b,也不可能a⊥b
参考答案:
答案:B
10. 若复数满足,其中为虚数单位,则的虚部为( )
A. B.2 C. D.
参考答案:
A
考点:复数的应用.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,且,则以作为两边长的三角形面积最大值是
参考答案:
12. 已知的值为 .
参考答案:
﹣
【考点】两角和与差的正切函数.
【分析】由条件利用两角差的正切公式,求得tanβ=tan[(α+β)﹣α]的值.
【解答】解:∵已知 =tan[(α+β)﹣α]= = =﹣,
故答案为:﹣.
13. 已知向量的取值范围是
参考答案:
14. 观察下列等式
(1+1)=2×1
(2+1)(2+2)=22×1×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5
……
照此规律,第n个等式可为 .
参考答案:
(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)
本题主要考查归纳推理,考查考生的观察、归纳、猜测能力. 观察规律可知,左边为n项的积,最小项和最大项依次为(n+1),(n+n),右边为连续奇数之积乘以2n,则第n个等式为(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1).
15. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点,若的周长为16,则的最大值为 .
参考答案:
由题意,△ABF2的周长为32,
∵|AF2|+|BF2|+|AB|=32,
∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a,|AB|=,
∴=32﹣4a,∴,
∴,令,
则,.
令m=,则
当m=时,的最大值为
故答案为:
16. 为庆祝党的十九大的胜利召开,小南同学用数字1和9构成数列,满足:,在第个1和第个1之间有个9,即1,9,1,9,9,9,1,9,9,9,9,9,……,设数列的前项和为,若,则
参考答案:
242
17. 运行如图所示程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出s属于 .
参考答案:
[﹣3,4]
【考点】程序框图.
【专题】算法和程序框图.
【分析】根据程序框图的功能进行求解即可.
【解答】解:本程序为条件结果对应的表达式为s=,
则当输入的t∈[﹣1,3],
则当t∈[﹣1,1)时,s=3t∈[﹣3,3),
当t∈[1,3]时,s=4t﹣t2=﹣(t﹣2)2+4∈[3,4],
综上s∈[﹣3,4],
故答案为:[﹣3,4].
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,根据条件结构,结合分段函数的表达式是解决本题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为,曲线的参数方程为,设直线与曲线交于两点.
(1)求;
(2)设为曲线上的一点,当的面积取最大值时,求点的坐标.
参考答案:
(1)由已知可得直线的方程为 曲线的方程为
由 ,
(2)设
当即时最大,
19. (本小题满分14分)
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
5
女生
10
合计
50
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程);
(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由;
(3)现从女生中抽取2人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为,求的分布列与期望.
下面的临界值表供参考:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式:,其中)
参考答案:
解:(1) 列联表补充如下:----------------------------------------3分
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
20
5
25
女生
10
15
25
合计
30
20
50
(2)∵------------------------6分
∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为喜爱打篮球与性别有关.---------------------7分
(3)喜爱打篮球的女生人数的可能取值为.-------------------------9分
其概率分别为,,
--------------------------12分
故的分布列为:
--------------------------13分
的期望值为: ---------------------14分
20. 已知a,b为常数,且a≠0,f(x)=ax2+bx,f(2)=0,方程f(x)=x有两个相等实根.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的值域;
(3)若F(x)=f(x)-f(-x),试判断F(x)的奇偶性,并证明你的结论.
参考答案:
略
21. 等腰△ABC,E为底边BC的中点,沿AE折叠,如图,将C折到点P的位置,使二面角P﹣AE﹣C的大小为120°,设点P在面ABE上的射影为H.
(I)证明:点H为BE的中点;
(II)若AB=AC=2,AB⊥AC,求直线BE与平面ABP所成角的正切值.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】(I)证明:∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角,则点P在面ABE上的射影H在EB上,即可证明点H为EB的中点;
(II)过H作HM⊥AB于M,连PM,过H作HN⊥PM于N,连BN,则有三垂线定理得AB⊥面PHM.即面PHM⊥面PAB,HN⊥面PAB.故HB在面PAB上的射影为NB,∠HBN为直线BE与面ABP所成的角,即可求直线BE与平面ABP所成角的正弦值.
【解答】(I)证明:依题意,AE⊥BC,则AE⊥EB,AE⊥EP,EB∩EP=E.
∴AE⊥面EPB.
故∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角,则点P在面ABE上的射影H在EB上.
由∠CEP=120°得∠PEB=60°.…(3分)
∴EH=EP=EB.
∴H为EB的中点.…(6分)
(II)解:过H作HM⊥AB于M,连PM,过H作HN⊥PM于N,连BN,
则有三垂线定理得AB⊥面PHM.即面PHM⊥面PAB,
∴HN⊥面PAB.故HB在面PAB上的射影为NB.
∴∠HBN为直线BE与面ABP所成的角.…(9分)
依题意,BE=BC=2,BH=BE=1.
在△HMB中,HM=,
在△EPB中,PH=,
∴在Rt△PHM中,HN=.
∴sin∠HBN=,tan∠HBN=.…(12分)
【点评】本题考查线面垂直,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
22. (本题满分l2分)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,=(sinA,1),=(cosA,),且//.
(I)求角A的大小;
(II)若a=2,b=2,求ABC的面积.
参考答案: