湖南省娄底市石新中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则的解集为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.
2. 在中, 已知,则角的度数为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 如图所示程序框图中,输出S=( )
A.45 B.﹣55 C.﹣66 D.66
参考答案:
B
【考点】循环结构.
【专题】计算题;简易逻辑.
【分析】根据程序框图的流程,可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+(﹣1)n+1?n2,判断程序运行终止时的n值,计算可得答案.
【解答】解:由程序框图知,第一次运行T=(﹣1)2?12=1,S=0+1=1,n=1+1=2;
第二次运行T=(﹣1)3?22=﹣4,S=1﹣4=﹣3,n=2+1=3;
第三次运行T=(﹣1)4?32=9,S=1﹣4+9=6,n=3+1=4;
…
直到n=9+1=10时,满足条件n>9,运行终止,此时T=(﹣1)10?92,
S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+(2+3)+(4+5)+(6+7)+(8+9)﹣100=×9﹣100=﹣55.
故选:B.
【点评】本题考查了循环结构的程序框图,判断算法的功能是解答本题的关键.
4. 已知三棱锥的底面是边长为的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 关于直线与平面,有以下四个命题:
①若,则 ②若
③若 ④若
其中真命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
B
6. 由函数的图象,变换得到函数的图象,这个变换可以是( )
A.向左平移 B.向右平移
C. 向左平移 D.向右平移
参考答案:
B
7. 在矩形ABCD中,,,若向该矩形内随机投一点P,那么使与的面积都小于4的概率为
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
本题是一个几何概型的概率,以AB为底边,要使面积小于4,则三角形的高要,得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离,得到对应区域,利用面积比求概率
【详解】由题意知本题是一个几何概型的概率,
以AB为底边,要使面积小于4,由于,
则三角形的高要 ,同样,P点到AD的距离要小于 ,满足条件的P 的区域如图,
其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是,
∴使得△ABP与△ADP的面积都小于4的概率为: ;
故选:A.
【点睛】本题考查几何概型,明确满足条件的区域,利用面积比求概率是关键.
8. 已知O是坐标原点,双曲线的两条渐近线分别为l1,l2,右焦点为F,以OF为直径的圆交l1于异于原点O的点A,若点B在l2上,且,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】求出双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线的方程和圆的方程,联立方程求出A,B的坐标,结合点B在渐近线y=﹣x上,建立方程关系求得A的坐标,设B(m,n),运用向量的坐标关系,结合B在渐近线上,可得a,c的关系,再由a=1,即可得到c,b,进而得到所求双曲线的方程.
【解答】解:双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程
l1,y=x,l2,y=﹣x,
F(c,0),
圆的方程为(x﹣)2+y2=,将y=x代入圆的方程,
得(x﹣)2+(x)2=,
即x2=cx,则x=0或x=,
当x=,y═?=,即A(,),
设B(m,n),则n=﹣?m,
则=(﹣m,﹣n),=(c﹣,﹣),
∵,
∴(﹣m,﹣n)=(c﹣,﹣),
则﹣m=2(c﹣),﹣n=2?(﹣),
即m=﹣2c,n=,
即=﹣?(﹣2c)=﹣+,
即=,
则c2=3a2,
由双曲线可得a=1,c=,b=n==.
则双曲线的方程为x2﹣=1.
故选:B.
9. 设,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
根据与特殊点的比较可得因为,,,从而得到,得出答案.
【详解】解:因为,
,
,
所以.
故选:B
【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性与特殊点的问题,要熟记一些特殊点,如,,.
10. 已知集合,,则( )
. . . .
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线在点(1,3)处的切线方程为
参考答案:
12. 若cos αcos(α+β)+sin αsin(α+β)=-,β是第二象限的角,则tan 2β=________.
参考答案:
13. 已知数列满足:,数列的前项和为,则___________.
参考答案:
由①,得
②,①②得,即,所以数列的通项,所以.
14. 设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
【知识点】函数奇偶性、单调性的应用. B3 B4
解析:因为当x≥0时,f(x)=,所以f(x)是的增函数,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)是R上的增函数,所以若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,即对任意x∈[a,a+2]
,因为函数2x+1是[a,a+2]上的增函数,所以2x+1有最大值2a+5,所以.
【思路点拨】先根据已知判定函数f(x)是R上的单调增函数,然后把命题转化为对任意x∈[a,a+2],a 2x+1恒成立问题求解.
15. 设函数f(x)=若f[f(a)],则a的取值范围是 .
参考答案:
或a=1
【考点】函数的值域.
【专题】压轴题;函数的性质及应用.
【分析】分a在和两种情况讨论,同时根据f(a)所在的区间不同求f[f(a)]的值,然后由f[f(a)]求解不等式得到a的取值范围.
【解答】解:当时,.
∵,由,解得:,所以;
当,f(a)=2(1﹣a),
∵0≤2(1﹣a)≤1,若,则,
分析可得a=1.
若,即,因为2[1﹣2(1﹣a)]=4a﹣2,
由,得:.
综上得:或a=1.
故答案为:或a=1.
【点评】本题考查了函数的值域,考查了分类讨论的数学思想,此题涉及二次讨论,解答时容易出错,此题为中档题.
16. 双曲线的离心率为 .
参考答案:
2
..
17. 已知α∈(0,),β∈(,π),sinβ=,sin(α+β)=,则sinα的值为 ;tan的值为 .
参考答案:
【考点】两角和与差的正弦函数.
【分析】由已知可求范围α+β∈(,),利用同角三角函数基本关系式可求cos(α+β),sinβ的值,利用角的关系α=(α+β)﹣β,根据两角差的正弦函数公式即可化简求值,进而可求cosα,利用同角三角函数基本关系式,降幂公式即可计算得解的值.
【解答】解:∵α∈(0,),β∈(,π),
∴α+β∈(,),…1分
∴cos(α+β)=﹣=﹣,…3分
∴cosβ==﹣,…5分
∴sinα=sin[(α+β)﹣β]=sin(α+β)cosβ﹣cos(α+β)sinβ=×(﹣)﹣(﹣)×=.
∵cosα==,
∴===3﹣2.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,过椭圆E: +=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足为左焦点F,A,B分别为E的右顶点,上顶点,且AB∥OP,|AF|=+1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过原点O做斜率为k(k>0)的直线,交E于C,D两点,求四边形ACBD面积S的最大值.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)由题意可得P(﹣c,),求出kOP,kAB,又AB∥OP,即可得到b=c,a=c,由已知|AF|=a+c=+1,求得a,b,则椭圆E的方程可求;
(2)由题意可设CD:y=kx,设C(x1,y1),D(x2,y2),到AB的距离分别为d1,d2,将y=kx代入椭圆方程可得x1,x2,进一步求出d1,d2,则四边形ACBD的面积S取得最大值可求.
【解答】解:(1)由题意可得P(﹣c,),
∴kOP=﹣,kAB=﹣.
由AB∥OP,∴﹣=﹣,解得b=c,a=c,
由|AF|=a+c=+1得b=c=1,a=,
故椭圆E的方程为+y2=1.
(2)由题意可设CD:y=kx,设C(x1,y1),D(x2,y2),到AB的距离分别为d1,d2,
将y=kx代入+y2=1,得x2=,则x1=,x2=﹣.
由A(,0),B(0,1)得|AB|=,且AB:x+y﹣=0,
d1=,d2=﹣,
S=|AB|(d1+d2)= [(x1﹣x2)+(y1﹣y2)]
=(1+k)(x1﹣x2)=,
S2=2(1+),∵1+2k2≥2k,当且仅当2k2=1时取等号,
∴当k=时,四边形ACBD的面积S取得最大值2.
19. 已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,,其中λ为实数,n为正整数.
(Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;
(Ⅱ)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)设0<a<b,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.
参考答案:
解:(Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22=a1a3,即,矛盾.
所以{an}不是等比数列.
(Ⅱ)解:因为bn+1=(﹣1)n+1[an+1﹣3(n+1)+21]=(﹣1)n+1(an﹣2n+14)
=(﹣1)n?(an﹣3n+21)=﹣bn
又b1=﹣(λ+18),所以
当λ=﹣18,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列:
当λ≠﹣18时,b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,
∴(n∈N+).
故当λ≠﹣18时,数列{bn}是以﹣(λ+18)为首项,﹣为公比的等比数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=﹣18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠﹣18,故知bn=﹣(λ+18)?(﹣)n﹣1,于是可得
Sn=﹣,
要使a<Sn<b对任意正整数n成立,
即a<﹣(λ+18)?[1﹣(﹣)n]<b(n∈N+)
得
①
当n为正奇数时,1<f(n)≤;当n为正偶数时,,
∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=,.
于是,由①式得a<﹣(λ+18)<.
当a<b≤3a时,由﹣b﹣18≥=﹣3a﹣18,不存在实数满足题目要求;
当b>3a存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,且λ的取值范围是(﹣b﹣18,﹣3a﹣18)
略
20. (本题满分12分)已知椭圆的离心率为,直线与椭圆交于P、Q两点,且,求该椭圆方程.
参考答案:
设,,
设椭圆方程,消得有两根为
,且有
即即
2+()+1=0解得椭圆方程为.
21. (12分)如图,