2022年湖南省永州市紫溪镇塘复中学高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 甲乙两人下棋,甲获胜的概率为30%,甲不输的概率为70%,则甲乙两人下一盘棋,最可能出现的情况是( )
A.甲获胜 B.乙获胜 C.二人和棋 D.无法判断
参考答案:
C
2. 已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为30的直线与双曲线的一条渐近线平行,则此双曲线离心率是
A. B.1 C. D.2
参考答案:
C
3. 方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的图形是( )
(A)一条直线和一条双曲线(B)两条双曲线(C)两个点(D)以上答案都不对
参考答案:
C
4. ,定义函数,若两两不相等,且为不小于6的偶数,则满足上述条件的不同的函数有( )个
(A)48 (B)54 (C)60 (D)66
参考答案:
B
略
5. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】由题意确定正三棱锥的顶点到底面的距离为1,求出正三棱柱的棱长,求出底面面积,然后可得体积.
【解答】解:由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1.
∵底面是正三角形且球半径为1.
∴底面边长为,
∴底面积为,
∴V=××1=.
故选C.
6. 在实数集R中定义一种运算“*”,对任意a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质:
(1)对任意a∈R,a*0=a;
(2)对任意a,b∈R,a*b=ab+(a*0)+(b*0).
则函数f(x)=(ex)*的最小值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
参考答案:
B
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】根据性质,f(x)=(ex)*=1+ex+,利用基本不等式,即可得出结论.
【解答】解:根据性质,f(x)=(ex)*=1+ex+≥1+2=3,
当且仅当ex=时,f(x)=(ex)*的最小值为3.
故选:B.
【点评】本题考查新定义,考查基本不等式的运用,正确理解新定义是关键.
7. 已知,则z=2x+y的最大值为( )
A.7 B. C.1 D.8
参考答案:
A
【考点】简单线性规划.
【分析】画出约束条件表示的可行域,判断目标函数z=2x+y的位置,求出最大值.
【解答】解:作出约束条件的可行域如图,
目标函数z=2x+y在的交点A(3,1)处取最大值为z=2×3+1=7.
故选:A.
8. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 已知(为常数)在上有最小值,那么此函数在上的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 已知函数,则这个函数在点处的切线方程是( )
A. B。 C。 D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知抛物线方程,则它的焦点坐标为_______
参考答案:
(0, )
略
12. 若函数且f(f(2))>7,则实数m的取值范围为________.
参考答案:
m<5
13. 式子= (用组合数表示).
参考答案:
略
14. 择优班).函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(m,n>0)上,则的最小值为________.
参考答案:
4
15. 已知则为 .
参考答案:
16. 已知,则 。
参考答案:
17. 设,,是单位向量,且=+,则向量,的夹角等于 .
参考答案:
60°
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知是虚数单位,复数满足.
(Ⅰ)求复数.
(Ⅱ)若复数的虚部为,且是实数,求.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ).
(Ⅰ)∵,
∴.
(Ⅱ)∵复数的虚部为,
∴设,
则为实数,
∴,此时,
∴.
19. 已知直线l1:(2a﹣1)x+y﹣4=0,l2:2x+(a+1)y+2=0,a∈R,l1∥l2.
(1)求a的值;
(2)若圆C与l1、l2均相切,且与l1相切的切点为P(2a,2a),求圆C的方程.
参考答案:
(1)∵∥,∴……………………2分
解得或……………………3分
当时,直线的方程为,直线的方程为,
满足∥……………………4分
当时,直线的方程为,直线的方程为,
与重合……………………5分
∴所求的值为1……………………6分
(2)与的距离为为圆的直径……………………7分
∴圆的半径为……………………8分
设圆的圆心坐标为,∵,直线的斜率为,所以直线
的斜率为1,∵ ∴,即 ……………………9分
∵,∴, 解得或…………10分
当时圆心不在与之间,应舍去………11分
∴圆的方程为……………………12分
20. 数列的各项均为正值,,对任意,,都成立.
(1)求数列、的通项公式;
(2)当且时,证明对任意都有成立.
参考答案:
解:(1)由得,
∵数列的各项为正值,,
∴ ,整理为. 又
∴数列为等比数列.∴,
∴,即为数列的通项公式.
∴ .
(2)设
∴ (1)
当时,,, ∴
∴, 当且仅当时等号成立.
上述(1)式中,,,全为正,所以
∴ .
略
21. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,,,,E,F分别是棱PC,AB的中点.
(1)证明:EF∥平面PAD;
(2)求二面角的余弦值.
参考答案:
(1)见解析(2)
【分析】
(1)依据线面平行的判定定理,在面中寻找一条直线与平行,即可由线面平行的判定定理证出;
(2)建系,分别求出平面,平面的法向量,根据二面角的计算公式即可求出二面角的余弦值。
【详解】(1)证明:如图,取中点为,连结,
则,
所以与平行与且相等,所以四边形是平行四边形,
所以平面,平面,
所以平面.
(2)令,因为是中点,所以平面,
以为原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,
在菱形中,,
所以,,在中,
,则,,
,,,
设平面的法向量为,
所以,所以可取,
又因平面的法向量,
所以.
由图可知二面角为锐二面角,
所以二面角余弦值为.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理应用以及二面角的求法,常见求二面角的方法有定义法,三垂线法,坐标法。
22. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+c=b.
(1)求角A的大小; (2)若a=1,求△ABC的周长l的取值范围.
参考答案:
(1)由acos C+c=b得sin Acos C+sin C=sin B.
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin C=cos Asin C,
因为sin C≠0,所以cos A=,又因为0
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