辽宁省朝阳市大平房中学高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则实数x的值为 ( )
A.4 B.1 C.4或1 D.其它
参考答案:
C
2. 在同一坐标系中,方程与的曲线大致是
参考答案:
D
3. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的,则获奖的歌手是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
参考答案:
C
略
4. 若复数(是虚数单位,是实数),则( )
A. B. C. D.2
参考答案:
C
5. 复数= ( )
A. 2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i
参考答案:
C
6. 圆上的点到直线的距离的最小值是( )
A.6 B.4 C.5 D.1
参考答案:
B 解析:
7. 已知正三棱锥的所有棱长均为,则侧面与底面所成二面角的余弦为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 在2014年3月15日,我市物价部门对本市的5家商场的某种商品一天的销售量及价格进行调查,5家商场的价格元与销售量件之间的一组数据如下表。由散点图可知,销售量与价格之间有较好的线性关系,其线性回归方程为,则的值为
价格
9
9.5
10
10.5
11
销售量
11
10
8
6
5
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
9. 已知数列,,,且,则数列的第五项为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. .阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( )
A. 6 B. 14 C. 18 D. ﹣10
参考答案:
A
【分析】
依次计算得到答案.
【详解】
输出S
故答案选A
【点睛】本题考查了程序框图,意在考查学生的程序框图理解能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线向着x轴进行伸缩变换,伸缩系数k=2,则变换后的曲线方程
为
参考答案:
略
12. 已知△ABC三边满足a2+b2=c2-ab,则此三角形的最大内角为________.
参考答案:
150°或
13. 已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为________.
参考答案:
∵f′(x)=3x2+1>0恒成立,
∴f(x)在R上是增函数.
又f(-x)=-f(x),∴y=f(x)为奇函数.
由f(mx-2)+f(x)<0得f(mx-2)<-f(x)=f(-x),
∴mx-2<-x,即mx-2+x<0在m∈[-2,2]上恒成立.
记g(m)=xm-2+x,
14. ①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;
②在中,“”是“三个角成等差数列”的充要条件.
③是的充要条件;④“am2<bm2 ”是“a<b”的充分必要条件.以上说法中,判断错误的有___________.
参考答案:
③④
15. 如果△ABC内接于半径为R的圆,且,求△ABC的面积的最大值.
参考答案:
【分析】
利用正弦定理化简得:,再利用余弦定理求得,即可求得,利用余弦定理及基本不等式即可求得,再利用三角形面积格式即可得解
【详解】解:已知等式整理得:,
即,
利用正弦定理化简,即,
∴,
∵C为三角形的内角,∴,
∵,∴,
∴,
∴,即,
则,当且仅当取得等号.
所以△ABC的面积的最大值为.
【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理,基本不等式的运用以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键,属于中档题。
16. 已知椭圆的两焦点为,点是椭圆内部的一点,则的取值范围为 .
参考答案:
17. 抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1?x2=﹣,则实数m的值为 .
参考答案:
2
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k,再利用A、B两点的中点在直线y=x+m求出关于m以及x2,x1的方程,再与已知条件联立求出实数m的值.
【解答】解:由题意, =﹣1,y2﹣y1=2(x22﹣x12),
∴x1+x2=﹣,
在直线y=x+m上,即,
所以有2(x22+x12)=x2+x1+2m,即2[(x2+x1)2﹣2x2x1]=x2+x1+2m,
∴2m=4,∴m=2,
故答案为2.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知曲线与曲线相切于点P,且在点P处有相同的切线,求切线的方程.
参考答案:
略
19. 设函数
(1) 解不等式;
(2) 求函数的最小值。
参考答案:
(1)
时,
时,
时,
综上,
(2)时,
时,
时,
综上,
略
20. 已知函数在处有极值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的不等式恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)由题意得出可得出关于、的方程组,解出这两个量的值,进而可求得函数的解析式;
(2)构造函数,由题意可知,不等式对任意的恒成立,求出导数,对实数进行分类讨论,分析函数在区间上的单调性,求出其最大值,通过解不等式可求得实数的取值范围.
【详解】(1),,
因为函数在处有极值,
得,,解得,,
所以;
(2)不等式恒成立,
即不等式恒成立,
令,
则不等式对任意的恒成立,则.
.
又函数的定义域为.
①当时,对任意的,,则函数在上单调递增.
又,所以不等式不恒成立;
②当时,.
令,得,当时,;当时,.
因此,函数在上单调递增,在上单调递减.
故函数的最大值为,由题意得需.
令,函数在上单调递减,
又,由,得,,
因此,实数的取值范围是;
【点睛】本题考查利用函数的极值求参数,同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题,涉及分类讨论思想的应用,考查计算能力,属于中等题.
21. 设F是抛物线G:x2=4y的焦点.
(Ⅰ)过点P(0,- 4)作抛物线G的切线,求切线方程:
(Ⅱ)设A、B为抛物线G上异于原点的两点,且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D,求四边形ABCD面积的最小值.
参考答案:
解:(I)所求切线方程为.
(II)设,.
由题意知,直线的斜率存在,由对称性,不妨设.
因直线过焦点,所以直线的方程为.
点的坐标满足方程组得,
由根与系数的关系知
.
因为,所以的斜率为,从而的方程为.
同理可求得.
.
当时,等号成立.所以,四边形面积的最小值为.
22. (1) 已知:都是正实数,且求证:.
(2)若下列三个方程:中至少有一个方程有实根,试求的取值范围.
参考答案:
略