2022-2023学年上海清流中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知三个函数,,的零点依次为 则的大小关系为
参考答案:
C
2. 函数f(x)=excosx在点(0,f(0))处的切线斜率为( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.
参考答案:
C
【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】先求函数f(x)=excosx的导数,因为函数图象在点(0,f(0))处的切线的斜率为函数在x=0处的导数,就可求出切线的斜率.
【解答】解:∵f′(x)=excosx﹣exsinx,
∴f′(0)=e0(cos0﹣sin0)=1,
∴函数图象在点(0,f(0))处的切线的斜率为1.
故选C.
3. 如果原命题的结构是“p且q”的形式,那么否命题的结构形式为( )
A.?p且?q B.?p或?q C.?p或q D.?q或p
参考答案:
B
4. 如图,已知直线l:y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N,若|AM|=2|BN|,则k的值是( )
A. B. C. D.2
参考答案:
C
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
【专题】空间向量及应用.
【分析】直线y=k(x+1)(k>0)恒过定点P(﹣1,0),由此推导出|OB|=|AF|,由此能求出点B的坐标,从而能求出k的值.
【解答】解:设抛物线C:y2=4x的准线为l:x=﹣1
直线y=k(x+1)(k>0)恒过定点P(﹣1,0)
如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,
由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,
点B为AP的中点、连接OB,
则|OB|=|AF|,
∴|OB|=|BF|,点B的横坐标为,
∴点B的坐标为B(,),
把B(,)代入直线l:y=k(x+1)(k>0),
解得k=.
故选:C.
【点评】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法,考查抛物线的性质,是中档题,解题时要注意等价转化思想的合理运用.
5. 已知等比数列{an},满足a1+a2+a3+a4+a5=2,=,则a3=( )
A.﹣2 B.2 C.±2 D.±4
参考答案:
C
【考点】等比数列的通项公式.
【专题】转化思想;整体思想;等差数列与等比数列.
【分析】利用等比数列的性质可得:a1a5=a2a4=,分别通分即可得出.
【解答】解:∵等比数列{an},满足a1+a2+a3+a4+a5=2,=,
∴++=,
∴++=,
∴2=,
解得a3=±2.
故选:C.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
6. 设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左右焦点,P是直线x=a上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据P为直线x=a上一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率.
【解答】解:∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x=a上一点
∴2(a﹣c)=2c
∴e==
故选:B.
【点评】本题考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于基础题.
7. 鞋柜里有4双不同的鞋,从中随机取出一只左脚的,一只右脚的,恰好成双的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
求出基本事件总数n,恰好成双包含的基本事件个数m,由概率公式即可得到答案.
【详解】鞋柜里有4双不同的鞋,从中取出一只左脚的,一只右脚的,
基本事件总数n==16,
恰好成双包含的基本事件个数m==4,
∴恰好成双的概率为p=.
故选:A.
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
8. 已知空间四边形的每条边和对角线长都等于,点分别是的中点,则四个数量积:①;②;③;④
中,结果为的共有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
B
9. 已知点P是曲线上一动点,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的最小值是( )
A. 0 B. C. D.
参考答案:
D
试题分析:,故选D.
考点:导数的几何意义、基本不等式.
【易错点晴】本题主要考查了导数的几何意义.求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,要先设出切点.(2)切点既在原函数的图象上也在切线上,可将切点代入两者的函数解析式建立方程组.(3)在切点处的导数值就是切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.本题也着重了导数的运算.
10. 设火箭发射失败的概率为0.01,若发射10次,其中失败的次数为X,则下列结论正确的是 ( )
A.E(X)=0.01 B.P(X=k)=0.01k×0.9910-k
C.D(X)=0.1 D.P(X=k)=0.01k×0.9910-k
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 命题“?x∈R,2x2﹣3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为 .
参考答案:
[﹣2,2]
【考点】命题的真假判断与应用;函数恒成立问题.
【分析】根据题意,原命题的否定“?x∈R,2x2﹣3ax+9≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立”问题,只需△≤0.
【解答】解:原命题的否定为“?x∈R,2x2﹣3ax+9≥0”,且为真命题,
则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立,
只需△=9a2﹣4×2×9≤0,解得:﹣2≤a≤2.
故答案为:[﹣2,2]
【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握,若考虑不周全、或稍有不慎就会出错.所以,可以采用数学上正难则反的思想,去从它的反面即否命题去判定.注意“恒成立”条件的使用.
12. 一元二次不等式的解集为 .
参考答案:
13. 若椭圆过抛物线的焦点,且与双曲线有相同的焦点,则该椭圆的方程为 .
参考答案:
略
14. 若命题?x∈{2,3},x2﹣4>0,则命题¬p为 .
参考答案:
?x∈{2,3},x2﹣4≤0
【考点】命题的否定.
【专题】计算题;规律型;转化思想;简易逻辑.
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题?x∈{2,3},x2﹣4>0,则命题¬p为:?x∈{2,3},x2﹣4≤0.
故答案为:?x∈{2,3},x2﹣4≤0.
【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.
15. 如图所示,墙上挂有一边长为的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是 ▲ .
参考答案:
略
16. 若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是 .
参考答案:
4
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的截距式方程.
【分析】求导数可得切线的斜率,进而可得切线的方程,可得其截距,由面积为2可得a的方程,解方程可得.
【解答】解:对y=求导数可得y′=,
∴曲线在P(a,)处的切线斜率为k=,
∴切线方程为:y﹣=(x﹣a),
令x=0,可得y=,即直线的纵截距为,
令y=0,可得x=﹣a,即直线的横截距为﹣a,
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为:
S=|||﹣a|=2,解得a=4
故答案为:4
【点评】本题考查直线的截距,涉及导数法求曲线上某点的切线,属基础题.
17. 抛物线的焦点为F,过准线上一点N作NF的垂线交y轴于点M,若抛物线C上存在点E,满足,则的面积为__________.
参考答案:
由可得为的中点,准线方程,焦点,
不妨设点在第三象限,因为∠为直角,所以,
由抛物线的定义得轴,则可求得,
即,所以.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分14分)已知:等差数列{an}中,a3 + a4 = 15,a2a5 = 54,公差d < 0.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)求的最大值及相应的n的值.
参考答案:
答案见课本111页第15题。根据情况给分
略
19. 已知平面向量.
(1)求证;
(2)若存在不同时为零的实数和,使得向量,且,试求函数解析式;
(3)根据(2)的结论,讨论关于的方程的解的情况.
参考答案:
略
20. 已知数列{an}是等差数列,首项,且是与的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,求数列{bn}的前n项和Sn.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)设出数列的公差为d,根据等比中项列出等式,得到公差,即可得到通项公式;(2)利用裂项相消求和法可得结果.
【详解】(1)设数列{an}的公差为d,
a1=1,且a3+1是a2+1与a4+2的等比中项,
可得(a3+1)2=(a2+1)(a4+2),即(2+2d)2=(2+d)(3+3d),
解得d=2或d=-1,
当d=-1时,a3+1=0,a3+1是a2+1与a4+2的等比中项矛盾,舍去.
∴d=2,a1=1
数列{an}的通项公式为an=2n-1;
(2),
前n项和Sn=1-+-+…+-=1-=.
21. (本小题满分10分)求下列函数的导数:
⑴ ⑵
参考答案:
解:⑴
⑵
略
22. (1)已知等差数列中,,求的公差;
(2)有三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,求该数列的公比.
参考答案:
(1) 或 或
(2)设这三个数分别为:
或2
略