河北省石家庄市栾城第一中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设 ,则 的值是( )
A. B. -6 C. D. -3
参考答案:
A
【分析】
根据分段函数的对应法则即可得到结果.
【详解】∵
∴
故选:A
【点睛】本题考查分段函数的对应法则,考查指数与对数的运算法则,属于中档题.
2. 已知函数满足:①,有成立;
②,使,则下列结论中错误的是( )
A. B.函数是偶函数
C.函数是奇函数 D.
参考答案:
C
3. 与双曲线有相同的渐近线且过点的双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. y=ex.cosx的导数是( )
A.ex.sinx B.ex(sinx-cosx) C.-ex.sinx D.ex(cosx-sinx)
参考答案:
D
略
5. 双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A. B. C. 2 D. 3
参考答案:
C
6. 关于空间两条直线、和平面,下列命题正确的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
参考答案:
D
7. 直三棱柱中,若,,则异面直线
与所成的角等于
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
参考答案:
C
略
8. 设函数是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的x的取值范围是( )
A. (-2,0)∪(0,2) B. (-∞,-2)∪(2,+∞) C. (-2,0)∪(2,+∞) D. (-∞,-2)∪(0,2)
参考答案:
D
【分析】
构造函数,可得在上为减函数,可得在区间和上,都有,结合函数的奇偶性可得在区间和上,都有,原不等式等价于或,从而可得的值范围.
【详解】根据题意,设,
其导数 ,
又由当时,,
则有 ,
即函数在 上为减函数,
又由,
则在区间上,,
又由,则,
在区间上,,
又由,则,
则在和上,,
又由为奇函数,则在区间和上,都有,
或,
解可得或,
则的取值范围是,故选D.
【点睛】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、最值等问题,常可使问题变得明了,准确构造出符合题意的函数是解题的关键;解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数,构造函数时往往从两方面着手:①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”;②若是选择题,可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
9. 将个不同的球放入个不同的盒中,每个盒内至少有个球,则不同的放法种数为 ( )
A. B.36 C.48 D.96
参考答案:
B
10. 将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张卡片,其中标号为1、3的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( )
A.12种 B.18种 C.36种 D.54种
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 与2的大小关系为________.
参考答案:
>
【分析】
平方作差即可得出.
【详解】解:∵
=13+2(13+4)
0,
∴2,
故答案为:>.
【点睛】本题考查了平方作差比较两个数的大小关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
12. 已知△ABC的三边分别是a, b,c ,且面积S =,则角C =___
参考答案:
13. 与圆外切且与圆内切的动圆圆心轨迹方程为
参考答案:
14. 某市居民2005~2009年家庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出Y(单位:万元)的统计资料如下表所示:
年份
2005
2006
2007
2008
2009
收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料,居民家庭平均收入的中位数是__________,家庭年平均收入与年平均支出有__________(填“正”或“负”)线性相关关系.
参考答案:
13 正
奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数,而偶数个时须取中间两数的平均数.(答对一个给3分)
15. 如图,在△中,是边上的点,且,则的值为___________。
参考答案:
16. 如图所示的流程图的输出结果为sum=132,则判断框中?处应填________.
参考答案:
11
17. 已知| a x – 3 | ≤ b的解集是[ –,],则a + b = 。
参考答案:
6
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设椭圆的离心率是,过点的动直线L于椭圆相交于A,B两点,当直线L平行于x轴时,直线L被椭圆C截得弦长为。
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)在y上是否存在与点P不同的定点Q,使得直线AQ和BQ的倾斜角互补?若存在,求Q的坐标;若不存在,说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)由已知可得,椭圆经过点,
因此,解得,
所以椭圆方程为;…………………………4分
(Ⅱ)设点的坐标为,
当直线与轴垂直时,直线与的倾斜角均为,满足题意,
此时,且…………………………5分
当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,,,
联立,得,
其判别式,
∴,,…………………………7分
∵直线和直线的倾斜角互补,
∴,…………………………8分
∴,
即,
整理得,…………………………10分
把,代入得,
∵,,即,
综上所述存在与点不同的定点满足题意。…………………………12分
19. (本题12分)已知函数是定义在R上的偶函数, 当时, ,
(1)求函数的解析式 ;
(2)求的值;
(3)若,求实数的值.
参考答案:
(本题12分)解:(1)当时,有
又是定义在R上的偶函数,
所求函数的解析式是
(2),
(3)当时,由得,
当时,由得,
综上可得所求实数的值为
略
20. 已知双曲线过点,它的渐近线方程为
(1)求双曲线的标准方程;(5分)
(2)设F1和F2是该双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且,求的余弦值.(7分)
参考答案:
(1)设所求双曲线的方程为:,----------2分,由于在该双曲线上,代入方程解得,---------4分,
所以所求双曲线方程为:-----------5分
(2)由双曲线定义:------------7分,在中,由余弦定理:
--------12分
21. (本小题满分10分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证:
(1)x1x2为定值;
(2) 为定值.
参考答案:
22. 如图,在△ABC中,AC=10,,BC=6,D是边BC延长线上的一点,∠ADB=30°,求AD的长.
参考答案:
【考点】HR:余弦定理.
【分析】利用余弦定理,求出∠ACB=60°,∠ACD=120°,在△ACD中,AC=10,∠ADB=30°,∠ACD=120°,利用正弦定理可得结论.
【解答】解:在△ABC中,AB=10,AC=14,BC=6,
由余弦定理得,
所以∠ACB=60°,∠ACD=120°,
在△ACD中,AC=10,∠ADB=30°,∠ACD=120°,…8分
由正弦定理得,
所以…12分.
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.