湖南省张家界市武溪中学高三数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的部分图象大致为( )
参考答案:
C
由f(x)为奇函数,排除B,<1,排除A. 当x>0时,,,∴在区间(1,+∞)上f(x)单调递增,排除D,故选C.
2. 若角的终边上有一点,则的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 关于的不等式的解是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
答案:B
4. 二项式(2x3﹣)7展开式中的常数项为( )
A.﹣14 B.﹣7 C.14 D.7
参考答案:
C
【考点】二项式系数的性质.
【分析】利用通项公式即可得出.
【解答】解:(2x3﹣)7展开式中的通项公式:Tr+1=(2x3)7﹣r=(﹣1)r27﹣r.
令21﹣=0,解得r=6.
∴常数项T7==14.
故选:C.
5. (5分)下列命题中为真命题的是( )
A. 若x≠0,则x+≥2
B. 命题:若x2=1,则x=1或x=﹣1的逆否命题为:若x≠1且x≠﹣1,则x2≠1
C. “a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件
D. 若命题P:?x∈R,x2﹣x+1<0,则¬P:?x∈R,x2﹣x+1>0
参考答案:
B
【考点】: 命题的真假判断与应用.
【专题】: 计算题;推理和证明.
【分析】: 对四个命题,分别进行判断,即可得出结论.
解:对于A,x>0,利用基本不等式,可得x+≥2,故不正确;
对于B,命题:若x2=1,则x=1或x=﹣1的逆否命题为:若x≠1且x≠﹣1,则x2≠1,正确;
对于C,“a=±1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件,故不正确;
对于D,命题P:?x∈R,x2﹣x+1<0,则¬P:?x∈R,x2﹣x+1≥0,故不正确.
故选:B.
【点评】: 本题考查命题的真假判断与应用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.
6. 已知集合则满足的集合个数是( )
参考答案:
C
7. 已知向量,,若与垂直,则 ( )
A. B. C.2 D.4
参考答案:
C
由题意知,因为与垂直,所以,即,所以,解得,所以,选C.
8. (5分)F是双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为 A,交另一条渐近线于点 B.若2=,则C的离心率是( )
A. B. 2 C. D.
参考答案:
C
【考点】: 双曲线的简单性质.
【专题】: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】: 设一渐近线OA的方程为y=x,设A(m,m),B(n,﹣),由 2=,求得点A的坐标,再由FA⊥OA,斜率之积等于﹣1,求出a2=3b2,代入e==进行运算.
解:由题意得右焦点F(c,0),设一渐近线OA的方程为y=x,
则另一渐近线OB的方程为 y=﹣x,
设A(m,),B(n,﹣),
∵2=,
∴2(c﹣m,﹣)=(n﹣c,﹣),
∴2(c﹣m)=n﹣c,﹣=﹣,
∴m=c,n=,
∴A(, ).
由FA⊥OA可得,斜率之积等于﹣1,即 ?=﹣1,
∴a2=3b2,∴e===.
故选C.
【点评】: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求得点A的坐标是解题的关键.
9. 设全集,集合,集合,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
10. 由直线上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为
A.1 B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数。
(1)求的周期;(2)在上的减区间;Ks5u
(3)若,,求的值。
参考答案:
解:(1)
,()… 3分
所以,的周期。 …… 4分
(2)由,得。… 6分
又,
令,得;令,得(舍去)Ks5u
∴ 在上的减区间是。 …… 8分
(3)由,得,
∴ , ∴… 10分
又,∴… 11分
∴ ,∴… 13分
∴。 ……14分
略
12. 用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查,已知样本容量为80,其中有50件甲型号产品,乙型号产品总数为1800,则该批次产品总数为 .
参考答案:
4800
考点: 分层抽样方法.
专题: 概率与统计.
分析: 求出抽样比,然后求解即可.
解答: 解:样本容量为80,其中有50件甲型号产品,乙型号产品总数为1800,
可得抽样比为:=,
该批次产品总数为:=4800.
故答案为:4800;
点评: 本题考查分层抽样的应用,就抽样比的解题的关键.
13. 各项都为正数的数列,其前项的和为,且 ,若,且数列的前项的和为,则= ▲ .
参考答案:
略
14. 曲线y=x3﹣2x在点(1,﹣1)处的切线方程是 .
参考答案:
x﹣y﹣2=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】计算题.
【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数,从而得到切线的斜率,再利用点斜式方程写出切线方程即可.
【解答】解:y'=﹣2+3x2
y'|x=﹣1=1
而切点的坐标为(1,﹣1)
∴曲线y=x3﹣2x在x=1的处的切线方程为x﹣y﹣2=0
故答案为:x﹣y﹣2=0
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查运算求解能力,属于基础题.
15. 在极坐标系中,定点,点在直线上运动,当线段最短时,点的极坐标为 .
参考答案:
在直角坐标系中,的坐标是,点所在的直线的方程是,设的坐标是,则得
解得的坐标是,它的极坐标是。
16. 函数的最小值为 ☆ .
参考答案:
17. 已知函数,则 ▲ .
参考答案:
-1
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中,已知点,动点C满足条件:△ABC的周长
为,记动点C的轨迹为曲线W.
(1)求W的方程;
(2)曲线W上是否存在这样的点P:它到直线的距离恰好等于它到点B的距离?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(1)设C(x,y),∵……3分
∴由椭圆的定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为的椭圆(除去与x轴的两个交点).
…… 5分 ∴W: ……6分
(2)假设存在点P满足题意,则点P为抛物线与曲线W:的交点,
由消去得: ……9分
解得(舍去) ……11分
由代人抛物线的方程得 ……13分
所以存在两个点和满足题意. ……14分
19. 平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,,,.
(1)证明:平面ACC1 A1⊥平面BDD1B1;
(2)设BD与AC交于O点,求二面角B-OB1-C平面角正弦值.
参考答案:
(1)证明:设,交于点,∵底面为菱形,∴,又∵,是的中点,∴,,∴平面,又∵平面,∴平面平面;
(2)解:∵,是的中点,∴,,,两两垂直,以,,分别为,,轴建立空间直角坐标系如图所示,
设,由题得,,,则
,,,,
设是平面的一个法向量,
,,
,可得,
设是平面的一个法向量,
,,
,可得,
,
∴二面角平面角正弦值为.
20. 已知函数,.
(Ⅰ)若函数为定义域上的单调函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,函数的两个极值点为,,且.证明:.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
试题分析:(Ⅰ)首先求得函数的定义域与导函数,然后结合判别式判断导函数的符号,得到函数的单调性,从而求得的取值范围;(Ⅱ)首先将问题转化为有两个不等的实根,,由此得到的范围,从而得到的范围,然后根据的表达式构造新函数,由此通过求导研究新函数的单调性使问题得证.
试题解析:(Ⅰ)函数的定义域为.
由题意,,.
①若,即,则恒成立,则在上为单调减函数;
②若,即,方程的两个根为,,当时,,所以函数单调递减,当时,,所以函数单调递增,不符合题意.
综上,若函数为定义域上的单调函数,则实数的取值范围为.
(Ⅱ)因为函数有两个极值点,所以在上有两个不等的实根,
即有两个不等的实根,,
可得,且,
因为,则,可得.
,.
令,,,
∵,
又,时,,
而,故在上恒成立,
所以在上恒成立,
即在上单调递减,
所以,得证.
考点:1、导数研究函数的单调性;2、函数极值与导数的关系
21. 已知全体实数集,集合
(1)若时,求;
(2)设,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)当时, …………………………2分
,则……………………5分
故 …………………………8分
(2),
若,则 …………………………12分
略
22. 如图,已知平面,,是正三角形,AD = DE AB,且 F 是 CD 的中点.
⑴求证:AF //平面 BCE ;
⑵求证:平面 BCE ⊥平面 CDE .
参考答案:
(1)取CE中点P,连结FP、BP。
∵F为CD的中点,∴FP//DE,且FP=
又AB//DE,且AB= ∴AB//FP,且AB=FP,
∴ABPF为平行四边形,∴AF//BP.
又∵AF平面BCE,BP平面BCE, ∴AF//平面BCE.
⑵∵△ACD为正三角形,∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD, AF平面ACD,
∴DE⊥AF
又AF⊥CD,CD∩DE=D,
∴AF⊥平面CDE.
又BP//AF,∴BP⊥平面CDE。
又∵BP平面BCE,
∴平面BCE⊥平面CDE.
略